WikiSort.ru - Не сортированное

Классическое определение

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. (Иногда совпадающие плоскости тоже считают параллельными, что упрощает формулировку некоторых теорем)

Свойства

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны
Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну
Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны
Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях

Признак

Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны

Аналитическое определение

Если плоскости

$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0$ и $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0$

параллельны, то нормальные векторы $N_{1}(A_{1},B_{1},C_{1})$ и $N_{2}(A_{2},B_{2},C_{2})$ коллинеарны (и обратно). Поэтому условие

${\frac {A_{2}}{A_{1}}}={\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}$ ^[1] есть необходимое и достаточное условие параллельности или совпадения плоскостей.

Пример 1

Плоскости $2x-3y-4z+11=0$ и $-4x+6y+8z+36=0$ параллельны, так как ${\frac {-4}{2}}={\frac {6}{-3}}={\frac {8}{-4}}$

Пример 2

Плоскости $2x-3z-12=0(A_{1}=2,B_{1}=0,C_{1}=-3)$ и $4x+4y-6z+7=0(A_{2}=4,B_{2}=4,C_{2}=-6)$ непараллельны, так как $B_{1}=0$ , а $B_{2}\neq 0$
Замечание. Если не только коэффициенты при координатах, но и свободные члены пропорциональны, то есть если
${\frac {A_{2}}{A_{1}}}={\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}={\frac {D_{2}}{D_{1}}},$ ^[2] то плоскости совпадают. Так уравнения $3x+7y+5z+4=0$ и $6x+14y+10z+8=0$ представляют одну и ту же плоскость.

Примечания

↑ при $A_{1},B_{1},C_{1}\neq 0$ . Если $A_{1}=0$ , то $A_{2}=0,{\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}$ . Аналогично при $B_{1}=0$ или $C_{1}=0$ .
↑ при $A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}\neq 0$ . Если $A_{1}=0$ , то $A_{2}=0,{\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}={\frac {D_{2}}{D_{1}}}$ . Аналогично при $B_{1}=0,C_{1}=0$ или $D_{1}=0$ .

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2025
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[1] при $A_{1},B_{1},C_{1}\neq 0$ . Если $A_{1}=0$ , то $A_{2}=0,{\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}$ . Аналогично при $B_{1}=0$ или $C_{1}=0$ .

[2] при $A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}\neq 0$ . Если $A_{1}=0$ , то $A_{2}=0,{\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}={\frac {D_{2}}{D_{1}}}$ . Аналогично при $B_{1}=0,C_{1}=0$ или $D_{1}=0$ .