WikiSort.ru - Не сортированное

Группа Коксетера — группа, порождённая отражениями в гранях ${\displaystyle n}$ -мерного многогранника, у которого каждый двугранный угол составляет целую часть от ${\displaystyle \pi }$ (то есть равен ${\displaystyle \pi /k}$ для некоторого целого ${\displaystyle k}$ ). Такие многогранники называются многогранниками Коксетера.

Группы Коксетера определяются для многогранников в евклидовом пространстве, на сфере, а также в пространстве Лобачевского.

Пара ${\displaystyle (W,S)}$ , где ${\displaystyle W}$ является группой Коксетера с порождающими элементами ${\displaystyle S=\{r_{1},\dots ,r_{n}\}}$ , называется системой Коксетера. Заметим, что в общем случае ${\displaystyle S}$ не определяются однозначно группой ${\displaystyle W}$ .

Примеры

• Многогранники Коксетера в Евклидовом пространстве размерности ${\displaystyle n}$ :
  • ${\displaystyle n}$ -мерный куб произвольной размерности.
  • ${\displaystyle n}$ -мерный симплекс, образованный точками с координатами ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ такими, что ${\displaystyle 0\leqslant x_{1}\leqslant x_{2}\leqslant \ldots \leqslant x_{n}\leqslant 1}$ .
• Многогранники Коксетера в единичной сфере размерности ${\displaystyle n}$ :
  • правильный ${\displaystyle n}$ -мерный симплекс со стороной ${\displaystyle \pi /2}$ .
• Многогранники Коксетера в пространствах Лобачевского:
  • Правильный ${\displaystyle k}$ -многоугольник с углом ${\displaystyle \pi /m}$ .
  • Правильный прямоугольный додекаэдр в размерности ${\displaystyle 3}$ .
  • Правильный прямоугольный стодвадцатиячейник в размерности ${\displaystyle 4}$ .

Свойства

• Многогранник Коксетера является фундаментальной областью действия группы Коксетера.
  • В частности, многогранник Коксетера замощает пространство.
  • В частности, любая евклидова группа Коксетера является примером точечной группы.
• Теорема Винберга.^[1] В пространствах Лобачевского всех достаточно больших размерностей ограниченных многогранников Коксетера не существует.
• Сферические многогранники Коксетера являются симплексами.
• Многогранники Коксетера являются простыми.
• Обозначим через ${\displaystyle \{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\}}$ отражения в гранях многогранника, и пусть ${\displaystyle \pi /m_{ij}}$ есть двугранный угол между гранями ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ . Положим ${\displaystyle m_{ij}=\infty }$ , если грани не образуют двугранного угла в многограннике, и ${\displaystyle m_{ii}=1}$ . Тогда группу Коксетера можно задать следующим образом:

  ${\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle }$

Вариации и обобщения

• Группами Коксетера также называется обобщение класса групп, описанного выше, определяемое с помощью задания:

  ${\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle }$ ,

где ${\displaystyle m_{ii}=1}$ и ${\displaystyle m_{ij}\geqslant 2}$ при ${\displaystyle i\neq j}$ .

См. также

• Группа комплексных отражений
• Число Коксетера

Литература

1. ↑ Э. Б. Винберг, Гиперболические группы отражений УМН, 40:1(241) (1985), 29–66

• H.S.M. Coxeter. Discrete groups generated by reflections // Ann. Of Math.. — 1934. — Vol. 35. — P. 588–621. — DOI:10.2307/1968753. JSTOR 1968753