WikiSort.ru - Не сортированное

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. Обратная функция функции ${\displaystyle f}$ обычно обозначается ${\displaystyle f^{-1}}$ , иногда также используется обозначение ${\displaystyle f^{\mathrm {inv} }}$ .

Определение

Функция ${\displaystyle g:Y\to X}$ является обратной к функции ${\displaystyle f:X\to Y}$ , если выполнены следующие тождества:

• ${\displaystyle f(g(y))=y}$ для всех ${\displaystyle y\in Y;}$
• ${\displaystyle g(f(x))=x}$ для всех ${\displaystyle x\in X.}$

Существование

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение ${\displaystyle y=f(x)}$ относительно ${\displaystyle x}$ . Если оно имеет более чем один корень, то функции, обратной к ${\displaystyle f}$ не существует. Таким образом, функция ${\displaystyle f(x)}$ обратима на интервале ${\displaystyle (a;b)}$ тогда и только тогда, когда на этом интервале она взаимно-однозначна.

Для непрерывной функции ${\displaystyle F(y)}$ выразить ${\displaystyle y}$ из уравнения ${\displaystyle x-F(y)=0}$ возможно в том и только том случае, когда функция ${\displaystyle F(y)}$ строго монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её строгой монотонности. Например, ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ является обратной функцией к ${\displaystyle x^{2}}$ на ${\displaystyle [0,+\infty )}$ , хотя на промежутке ${\displaystyle (-\infty ,0]}$ обратная функция другая: ${\displaystyle -{\sqrt {x}}}$ .

Примеры

• Если ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;F(x)=a^{x}}$ , где ${\displaystyle a>0,a\neq 1,}$ то ${\displaystyle F^{-1}(x)=\log _{a}x.}$
• Если ${\displaystyle F(x)=ax+b,\;x\in \mathbb {R} }$ , где ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ фиксированные постоянные и ${\displaystyle a\neq 0}$ , то ${\displaystyle F^{-1}(x)={\frac {x-b}{a}}.}$
• Если ${\displaystyle F(x)=x^{n},x\geq 0,n\in \mathbb {Z} }$ , то ${\displaystyle F^{-1}(x)={\sqrt[{n}]{x}}.}$

Свойства

• Областью определения ${\displaystyle F^{-1}}$ является множество ${\displaystyle Y}$ , а областью значений — множество ${\displaystyle X}$ .
• По построению имеем:

${\displaystyle y=F(x)\Leftrightarrow x=F^{-1}(y)}$

или

${\displaystyle F\left(F^{-1}(y)\right)=y,\;\forall y\in Y}$ ,

${\displaystyle F^{-1}(F(x))=x,\;\forall x\in X}$ ,

или короче

${\displaystyle F\circ F^{-1}=\mathrm {id} _{Y}}$ ,

${\displaystyle F^{-1}\circ F=\mathrm {id} _{X}}$ ,

где ${\displaystyle \circ }$ означает композицию функций, а ${\displaystyle \mathrm {id} _{X},\mathrm {id} _{Y}}$  — тождественные отображения на ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ соответственно.

• Такое отображение ${\displaystyle G\colon \,Y\to X}$ , что ${\displaystyle F\circ G=\mathrm {id} _{Y}}$ («обратное справа»), называется сечением отображения ${\displaystyle F}$ .

• Функция ${\displaystyle F}$ является обратной к ${\displaystyle F^{-1}}$ :

${\displaystyle \left(F^{-1}\right)^{-1}=F}$ .

• Пусть ${\displaystyle F:X\subset \mathbb {R} \to Y\subset \mathbb {R} }$  — биекция. Пусть ${\displaystyle F^{-1}:Y\to X}$ её обратная функция. Тогда графики функций ${\displaystyle y=F(x)}$ и ${\displaystyle y=F^{-1}(x)}$ симметричны относительно прямой ${\displaystyle y=x}$ .
• Также, если у функции ${\displaystyle f(x)}$ есть обратная ей ${\displaystyle f^{-1}(x)}$ , то графики этих функций будут симметричны относительно линии ${\displaystyle y=x}$ .

Разложение в степенной ряд

Обратная функция аналитической функции может быть представлена в виде степенного ряда:

${\displaystyle F^{-1}(y)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}(x_{0}){\frac {(y-f(x_{0}))^{k}}{k!}},}$

где коэффициенты ${\displaystyle A_{k}}$ задаются рекурсивной формулой:

${\displaystyle A_{n}(x)={\begin{cases}x,n=0\\{\frac {A_{n-1}'(x)}{F'(x)}},n>0\end{cases}}}$

См. также

• Теорема Лагранжа об обращении рядов
• Обратные тригонометрические функции
• Обратимая функция