Фундаментальная последовательность, или сходящаяся в себе последовательность, или последовательность Коши — последовательность точек метрического пространства такая, что для любого ненулевого заданного расстояния существует элемент последовательности, начиная с которого все элементы последовательности находятся друг от друга на расстоянии менее, чем заданное.
Определение
Последовательность точек
метрического пространства
называется фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:
Связанные определения
- Пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого же пространства, называется полным.
Свойства
- Каждая сходящаяся последовательность является фундаментальной, но не каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу из своего пространства.
- Метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда всякая система вложенных замкнутых шаров с неограниченно убывающим радиусом имеет непустое пересечение, состоящее из одной точки.
- Если последовательность фундаментальна и содержит сходящуюся подпоследовательность, то сама последовательность сходится.
- Если последовательность фундаментальна, то она ограничена.
Литература
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004. — 7-е изд.
- Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч. 3, — М.: Наука, 1970.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .