WikiSort.ru - Не сортированное

Пусть имеется два нейтральных элемента ${\displaystyle e_{1}}$ и ${\displaystyle e_{2}}$ . По определению нейтрального элемента, для любого элемента ${\displaystyle x}$ должно выполняться:

${\displaystyle e_{1}\circ x=x\circ e_{1}=x,}$

${\displaystyle e_{2}\circ x=x\circ e_{2}=x.}$

Положим в первом из этих равенств ${\displaystyle x=e_{2}}$ , а во втором ${\displaystyle x=e_{1}}$ :

${\displaystyle e_{1}\circ e_{2}=e_{2}\circ e_{1}=e_{2},}$

${\displaystyle e_{2}\circ e_{1}=e_{1}\circ e_{2}=e_{1}.}$

Так как левые части этих равенств (после перестановки) равны, то равны и правые:

${\displaystyle e_{1}=e_{2}.}$ ■

Предположим, что у некоторого элемента ${\displaystyle a}$ есть два обратных элемента ${\displaystyle b_{1}}$ и ${\displaystyle b_{2}}$ . По определению обратного элемента должны выполняться следующие равенства:

${\displaystyle a\circ b_{1}=b_{1}\circ a=e,}$

${\displaystyle a\circ b_{2}=b_{2}\circ a=e.}$

Рассмотрим выражение ${\displaystyle b_{1}\circ \left(a\circ b_{2}\right)}$ . Так как ${\displaystyle b_{2}}$ является обратным элементом к ${\displaystyle a}$ , то имеет место следующее равенство

${\displaystyle b_{1}\circ \left(a\circ b_{2}\right)=b_{1}\circ e=b_{1}}$ .

С другой стороны, так как операция является ассоциативной, то

${\displaystyle b_{1}\circ \left(a\circ b_{2}\right)=\left(b_{1}\circ a\right)\circ b_{2}=e\circ b_{2}=b_{2}.}$

Левые части последних двух равенств равны, значит равны и правые, то есть ${\displaystyle b_{1}=b_{2}}$ , что и требовалось доказать.■