WikiSort.ru - Не сортированное

Дедеки́ндово сече́ние (или у́зкая щель) — один из способов построения вещественных чисел из рациональных.

Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений. На них возможно продолжить операции сложения и умножения.

История

Метод был введён Дедекиндом^[1]. Это же построение неявно присутствует в «Началах» Евклида, а именно, в книге V определение 5 звучит следующим образом:

Говорят, что величины находятся в том же отношении первая ко второй и третья к четвёртой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, одновременно равны или одновременно меньше равнократных второй и четвёртой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответствующем порядке (9, 10, 11, 12).^[2]

Определение

Дедекиндово сечение — это разбиение множества рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ на два подмножества ${\displaystyle A}$ (нижнее, или левое) и ${\displaystyle B}$ (верхнее, или правое) такие, что:

1. ${\displaystyle a<b}$ для любых ${\displaystyle a\in A}$ и ${\displaystyle b\in B}$ ,
2. ${\displaystyle B}$ не имеет минимального элемента.

Примеры

Вещественному числу ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ соответствует дедекиндово сечение, определяемое

${\displaystyle A=\{x\in \mathbb {Q} \mid x\leqslant 0\lor x^{2}<2\}}$ и

${\displaystyle B=\{x\in \mathbb {Q} \mid x>0\land x^{2}>2\}.}$

Интуитивно можно представить себе, что для того, чтобы определить ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ , мы рассекли множество на две части: все числа, что левее ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ , и все числа, что правее ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ; соответственно, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ равен точной нижней грани множества ${\displaystyle B}$ .

См. также

• Конструктивные способы определения вещественного числа

Примечания