Прямая сумма — производный математический объект, создаваемый по определённым ниже правилам из базовых объектов. В качестве базовых чаще всего выступают векторные пространства или абелевы группы. Существует также обобщение данной конструкции для банаховых и гильбертовых пространств.
Прямая сумма двух объектов и обозначается , а прямая сумма произвольного множества объектов — как . При этом произвольное называется прямым слагаемым .
Говорят, что линейное пространство есть прямая сумма своих подпространств :
если каждый вектор представляется в виде суммы
и притом единственным образом.
Последнее условие («единственным образом») весьма существенно, без него получается просто определение суммы подпространств (обозначается ). Из определения линейного пространства следует, что условие единственности разложения (*) для каждого вектора равносильно условию единственности разложения (*) только для нулевого вектора (для в сумме (*) все слагаемые ).
Понятие прямой суммы распространяется на случай, когда изначально не являются подпространствами какого-либо одного объемлющего линейного пространства. Чтобы избежать путаницы, прямая сумма в этом смысле называется внешней прямой суммой, тогда как прямая сумма подпространств называется внутренней прямой суммой.
Пусть — векторные пространства над полем . Определим множество-носитель как декартово произведение множеств и введём на нём операции векторного пространства с помощью формул
Для каждого существуют естественные вложения , такие что — это в точности множество тех векторов, все координаты которых в прямом произведении, кроме -й координаты, равны нулю. Если отождествить пространства с соответствующими подпространствами в , каждый вектор однозначно представим в виде следовательно, является внутренней прямой суммой .
Аналогичным образом определяется прямая сумма модулей над кольцом (и, в частности, прямая сумма абелевых групп, являющихся модулями над кольцом целых чисел).
Только при рассмотрении прямой суммы бесконечного числа пространств проявляется её отличие от прямого произведения этих пространств. Пусть — индексированное семейство векторных пространств над полем , тогда их прямая сумма — это множество конечных формальных сумм
с покомпонентными операциями сложения и с операцией умножения на скаляр :
Очевидно, сумма двух конечных сумм — вновь конечная сумма, поэтому прямая сумма замкнута относительно операций векторного пространства. Для того, чтобы определить прямую сумму модулей, достаточно поле заменить на некоторое кольцо.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .