WikiSort.ru - Не сортированное

Построение

Для метрического пространства ${\displaystyle X=(X,\rho )}$ , на множестве фундаментальных последовательностей в ${\displaystyle X}$ можно ввести отношение эквивалентности

${\displaystyle (x_{n})\sim (y_{n})\Leftrightarrow \lim \rho (x_{n},y_{n})=0.}$

Множество классов эквивалентности ${\displaystyle {\bar {X}}}$ с метрикой, определённой

${\displaystyle {\bar {\rho }}((x_{n}),(y_{n}))=\lim \rho (x_{n},y_{n}),}$

является метрическим пространством. Само пространство ${\displaystyle (X,\rho )}$ изометрически вкладывается в него следующим образом: точке ${\displaystyle x\in X}$ соответствует класс постоянной последовательности ${\displaystyle x_{n}=x}$ . Получившееся пространство ${\displaystyle ({\bar {X}},{\bar {\rho }})}$ и будет пополнением ${\displaystyle X}$ .

Полные метрические пространства

• Множество вещественных (действительных) чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ полно в стандартной метрике ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$ .
• Вообще, любое конечномерное евклидово или унитарное пространство полно^[1].
• Свойство полноты является обязательным в определении банахова пространства, в частности гильбертова пространства.
• Пространство непрерывных на отрезке функций с равномерной метрикой является полным метрическим пространством, а потому является банаховым, если рассматривать его как нормированное линейное пространство.

Неполные метрические пространства

• Рациональные числа ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ со стандартным расстоянием ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$ являются неполным метрическим пространством. Результатом пополнения этого пространства будет множество всех вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .
• Также, рациональные числа могут быть снабжены p-адическим нормированием, пополнение по которому приводит к полю p-адических чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ .
• Пространство интегрируемых (по Риману) на отрезке функций в интегральной метрике ${\displaystyle d(f,g)=\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx}$ . Результатом пополнения этого пространства будет пространство интегрируемых по Лебегу функций, заданных на том же отрезке.