WikiSort.ru - Не сортированное

Случайная величина — это переменная, значения которой представляют собой исходы какого-нибудь случайного феномена или эксперимента.  Простыми словами: это численное выражение результата случайного события. Случайная величина является одним из основных понятий теории вероятностей.^[1]

Для обозначения случайной величины в математике принято использовать заглавный вариант буквы "икс" ${\displaystyle X}$ . Если определять случайную величину более строго, то она уже не переменная ${\displaystyle X}$ , а функция ${\displaystyle y=X(\omega )}$ , значения ${\displaystyle y}$ которой численно выражают исходы ${\displaystyle \omega }$ случайного феномена. Одним из требований к данной функции будет её измеримость, что служит для отсеивания патологических случаев, когда значения данной функции ${\displaystyle X(\omega )}$ бесконечно чувствительны к малейшим изменениям в исходах случайного феномена, эксперимента.

Важно понимать, что, как функция, случайная величина ${\displaystyle X(\omega )}$ не является вероятностью наступления события ${\displaystyle \omega }$ , а возвращает численное выражение исхода ${\displaystyle \omega }$ . Пусть, например, экспериментатор тянет наугад одну из карт в колоде игральных карт. Тогда ${\displaystyle \omega }$ будет представлять одну из вытянутых карт; понятно что здесь ${\displaystyle \omega }$ не число, а карта - физический объект, название которого обозначается через символ ${\displaystyle \omega }$ . Тогда функция ${\displaystyle X(\omega )}$ , принимая в качестве аргумента "название" объекта, вернёт уже число с которым мы будем в дальнейшем ассоциировать карту ${\displaystyle \omega }$ . Пусть в нашем случае экспериментатор вытянул Короля Треф, т.е. ${\displaystyle \omega =K_{\clubsuit }}$ , тогда после подставления этого исхода в функцию ${\displaystyle X(K_{\clubsuit })}$ , мы получим уже число, например, 13. Это число не является вероятностью вытягивания короля из колоды или любой другой карты. Это число является результатом перевода объекта из физического мира в объект математического мира, ведь с числом 13 уже можно проводить математические операции, в то время как с объектом ${\displaystyle K_{\clubsuit }}$ эти операции проводить было нельзя.

Примером объектов, для представления состояния которых требуется применение случайных величин являются микроскопические объекты, описываемые квантовой механикой. Случайными величинами описываются события передачи наследственных признаков от родительских организмов к их потомкам (см. Законы Менделя). К случайным относятся события радиоактивного распада ядер атомов.^[1]

Следует также отметить, что существует ряд задач математического анализа и теории чисел для которых участвующие в их формулировках функции целесообразно рассматривать как случайные величины, определённые на подходящих вероятностных пространствах^[2].

История

Роль случайной величины, как одного из основных понятий теории вероятностей, впервые была чётко осознана П. Л. Чебышевым, который обосновал общепринятую на сегодня точку зрения на это понятие (1867)^[3]. Понимание случайной величины как частного случая общего понятия функции, пришло значительно позднее, в первой трети 20 века. Впервые полное формализованное представление основ теории вероятностей на базе теории меры было разработано А. Н. Колмогоровым (1933) ^[4], после которого стало ясным, что случайная величина представляет собой измеримую функцию, определённую на вероятностном пространстве. В учебной литературе эта точка зрения впервые последовательно проведена У. Феллером (см. предисловие к ^[5], где изложение строится на основе понятия пространства элементарных событий и подчёркивается, что лишь в этом случае представление случайной величины становится содержательным).

Определение

Формальное математическое определение следующее: пусть ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$  — вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ , измеримая относительно ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ и борелевской σ-алгебры на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Вероятностное поведение отдельной (независимой от других) случайной величины полностью описывается её распределением.

Случайную величину можно определить и другим эквивалентным способом^[6]. Функция ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ называется случайной величиной, если для любых вещественных чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ множество событий ${\displaystyle \omega }$ , таких что ${\displaystyle X(\omega )\in (a,b)}$ , принадлежит ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ .

Примеры

Методы описания

Частично задать случайную величину, описав этим все её вероятностные свойства как отдельной случайной величины, можно с помощью функции распределения, плотности вероятности и характеристической функции, определяя вероятности возможных её значений. Функция распределения F(x) является вероятностью того, что значения случайной величины меньше вещественного числа x. Из этого определения следует, что вероятность попадания значения случайной величины в интервал [a, b) равна F(b)-F(a). Преимущество использования функции распределения заключается в том, что с её помощью удаётся достичь единообразного математического описания дискретных, непрерывных и дискретно-непрерывных случайных величин. Тем не менее, существуют разные случайные величины, имеющие одинаковые функции распределения.

Если случайная величина дискретная, то полное и однозначное математическое описание её распределения определяется указанием вероятностей ${\displaystyle p_{k}=P(\xi =x_{k})}$ всех возможных значений этой случайной величины. В качестве примера рассмотрим биномиальный и пуассоновский законы распределения.

Биноминальный закон распределения описывает случайные величины, значения которых определяют количество «успехов» и «неудач» при повторении опыта N раз. В каждом опыте «успех» может наступить с вероятностью p, «неудача» — с вероятностью q=1-p. Закон распределения в этом случае определяется формулой Бернулли:

${\displaystyle P_{k,n}=C_{n}^{k}\cdot p^{k}\cdot q^{n-k}}$ .

Если при стремлении ${\displaystyle n}$ к бесконечности произведение ${\displaystyle np}$ остаётся равной константе ${\displaystyle \lambda >0}$ , то биномиальный закон распределения сходится к закону Пуассона, который описывается следующей формулой:

${\displaystyle p(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }}$ ,

где

• символ "${\displaystyle !}$ " обозначает факториал,
• ${\displaystyle e=2.718281828\ldots }$ — основание натурального логарифма.

Простейшие обобщения

Случайная величина, вообще говоря, может принимать значения в любом измеримом пространстве. Тогда её чаще называют случайным вектором или случайным элементом. Например,

• Измеримая функция ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ называется n-мерным случайным вектором (относительно борелевской ${\displaystyle \sigma }$ -алгебры на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ).
• Измеримая функция ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {C} ^{n}}$ называется n-мерным комплексным случайным вектором (также относительно соответствующей борелевской ${\displaystyle \sigma }$ -алгебры).
• Измеримая функция, отображающая вероятностное пространство в пространство подмножеств некоторого (конечного) множества, называется (конечным) случайным множеством.

См. также

• Случайный процесс
• Функция распределения
• Математическое ожидание

Примечания

Литература

• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятности. — 8-е изд. доп. и испр. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 448 с. — ISBN 5-354-01091-8.
• Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Прохоров Ю. В.. — 2-е изд. — М.: «Советская энциклопедия», 1998. — 847 с.
• Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. — Учебное пособие для ВУЗов. — М.: Радио и связь, 1991. — 608 с. — ISBN 5-256-00789-0.
• Чернова Н. И. Теория вероятностей. — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с.

Ссылки

• Многомерные случайные величины