WikiSort.ru - Не сортированное

Открытые множества и окрестности

Отношение порядка ${\displaystyle <}$ порождает топологию ${\displaystyle \tau }$ на ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ . В топологии ${\displaystyle \tau }$ открытыми множествами являются всевозможные объединения интервалов:

${\displaystyle (\alpha ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha <x<\beta \},\quad (\alpha ,+\infty ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon x>\alpha \},\quad [-\infty ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon x<\beta \},}$ ,

где ${\displaystyle \alpha ,\beta \in {\overline {\mathbb {R} }}}$ .

Окрестностью ${\displaystyle U(a)}$ точки ${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {R} }}}$ называется всякое открытое множество, содержащее эту точку. И, как следует из определения открытых множеств топологии ${\displaystyle \tau }$ , всякая окрестность точки ${\displaystyle a}$ включает один из интервалов указанного вида, содержащий ${\displaystyle a}$ .

В курсах математического анализа обычно вводят более частное понятие ${\displaystyle \varepsilon }$ -окрестности ${\displaystyle U_{\varepsilon }(a)}$ точки расширенной числовой прямой (${\displaystyle \varepsilon >0}$ ).

В случае ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ , то есть когда ${\displaystyle a}$ является числом, ${\displaystyle \varepsilon }$ -окрестностью ${\displaystyle a}$ называется множество:

${\displaystyle U_{\varepsilon }(a){\overset {\mathrm {def} }{=}}(a-\varepsilon ,a+\varepsilon ).}$ .

Если же ${\displaystyle a=+\infty }$ , то:

${\displaystyle U_{\varepsilon }(+\infty ){\overset {\mathrm {def} }{=}}\left({\frac {1}{\varepsilon }},+\infty \right],}$ ,

а если ${\displaystyle a=-\infty }$ , то:

${\displaystyle U_{\varepsilon }(-\infty ){\overset {\mathrm {def} }{=}}\left[-\infty ,-{\frac {1}{\varepsilon }}\right).}$ .

Понятие ${\displaystyle \varepsilon }$ -окрестностей для бесконечных чисел определено таким образом, что во всех случаях — когда ${\displaystyle a}$ является вещественным числом, или одной из бесконечностей — при уменьшении числа ${\displaystyle \varepsilon }$ соответствующие окрестности уменьшаются: ${\displaystyle 0<\varepsilon _{1}<\varepsilon _{2}\Rightarrow U_{\varepsilon _{1}}(a)\subset U_{\varepsilon _{2}}(a)}$ .

Пределы

В ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ все специальные разновидности пределов укладываются в единое определение предела (которое соответствует общетопологическому определению предела).

Пусть ${\displaystyle f\colon X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ , где ${\displaystyle X\subset {\overline {\mathbb {R} }}}$ . В частности ${\displaystyle f}$ может быть вещественной функцией вещественного переменного. Пусть ${\displaystyle x_{0},a\in {\overline {\mathbb {R} }}}$ . Тогда:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=a{\overset {\mathrm {def} }{\iff }}\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in X\;(x\in U_{\delta }(x_{0})\Rightarrow f(x)\in U_{\varepsilon }(a))}$

Компактность

${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$  — компактное хаусдорфово пространство. Пространство вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ является полным, но не является компактным. Таким образом, расширенная система вещественных чисел ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ может рассматриваться как двухточечная компактификация ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . При этом ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ оказывается гомеоформным отрезку ${\displaystyle [0,1]}$ . Этот факт имеет наглядную геометрическую иллюстрацию. Аналитически гомеоформизм ${\displaystyle f\colon [0,1]\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ задаётся формулой:

${\displaystyle f(x)=\operatorname {tg} \left(\pi x-{\frac {\pi }{2}}\right)}$ .