WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Су́мма (лат. summa — итог, общее количество) в математике это результат операции сложения числовых величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.), либо результат последовательного выполнения нескольких операций сложения (суммирования). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности, ассоциативности, а также дистрибутивности по отношению к умножению (если для рассматриваемых величин умножение определено), то есть выполнение соотношений:

a+b=b+a

a+(b+c)=(a+b)+c

(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c

c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b

В теории множеств суммой (или объединением) множеств называется множество, элементами которого являются все элементы слагаемых множеств, взятые без повторений.

Операция сложение (нахождение суммы) может быть определена для более сложных алгебраических структур. Сумма групп, сумма линейных пространств, сумма идеалов, и другие примеры. В теории категорий определяется понятие суммы объектов.

Арифметическая сумма

Пусть в множестве $\mathbb {N}$ находится $a$ элементов, образующих подмножество $A$ , и $b$ элементов, образующих подмножество $B$ ( $A\subset \mathbb {N} ,B\subset \mathbb {N}$ , a и b — натуральные числа). Тогда арифметической суммой $a+b$ будет количество элементов $c$ , образующих подмножество $C\subset \mathbb {N}$ , полученное при дизъюнктном объединении двух исходных подмножеств $C=A\sqcup B;$ .

Алгебраическая сумма

Сумму математически обозначают заглавной греческой буквой Σ (сигма).

\sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}

где: i — индекс суммирования; a_i — переменная, обозначающая каждый член в серии; m — нижняя граница суммирования, n — верхняя граница суммирования. Обозначение «i = m» под символом суммирования означает, что начальное (стартовое) значение индекса i эквивалентно m. Из этой записи следует, что индекс i инкрементируется на 1 в каждом члене выражения и остановится, когда i = n.^[1]

В программировании данной процедуре соответствует цикл for.

Примеры записи

\sum _{i\mathop {=} 1}^{100}i=1+2+3+4+...+99+100

\sum _{i\mathop {=} 3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86

Указание границ может опускаться из записи, если они ясны из контекста:

\sum a_{i}^{2}=\sum _{i\mathop {=} 1}^{n}a_{i}^{2}

Итератор может быть выражением, тогда переменная оформляется со скобками как функция « $f()$ ». Например, сумма всех натуральных чисел $k$ в определённом диапазоне:

\sum _{0\leq k<100}f(k)

Сумма $f(x)$ элементов $x$ множества $S$ :

\sum _{x\mathop {\in } S}f(x)

Сумма $\mu (d)$ всех положительных чисел $d$ , являющихся делителями числа $n$ :

\sum _{d|n}\;\mu (d)

Несколько символов сигма могут обобщать, например:

\sum _{\ell ,\ell '}=\sum _{\ell }\sum _{\ell '}

Бесконечная сумма

В математическом анализе определяется понятие ряда — суммы бесконечного числа слагаемых.

Примеры

1. Сумма арифметической прогрессии:

\sum _{i=0}^{n}(a_{0}+b\cdot i)=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}

2. Сумма геометрической прогрессии:

\sum _{i=0}^{n}a_{0}\cdot b^{i}=a_{0}\cdot {\frac {1-b^{n+1}}{1-b}}

3. $\sum \limits _{k=1}^{n}k^{3}=\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}=\left(\sum \limits _{k=1}^{n}k\right)^{2}$

4. $\sum _{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}}}\right),\quad p\neq 1,n\geq 0$

Доказательство

\sum _{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}=\sum _{i=0}^{n}{1\cdot {\frac {1}{p^{i}}}}=1\cdot {\frac {1-{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{n+1}}{1-{\frac {1}{p}}}}={\frac {\frac {p^{n+1}-1}{p^{n+1}}}{\frac {p-1}{p}}}={\frac {p^{n+1}-1}{p^{n}(p-1)}}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}}}\right)

5. $\sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^{2}}},\quad p\neq 1$

Доказательство

\sum _{i=0}^{n}ip^{i}=\sum _{i=1}^{n}ip^{i}=p\cdot \sum _{i=1}^{n}ip^{i-1}=p\cdot \sum _{i=0}^{n-1}(i+1)p^{i}=p\cdot \left(\sum _{i=0}^{n-1}{ip^{i}}+\sum _{i=0}^{n-1}p^{i}\right)=p\cdot \sum _{i=0}^{n}ip^{i}-p\cdot np^{n}+p\cdot {\frac {1-p^{n}}{1-p}}\Rightarrow

\Rightarrow (1-p)\sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {-np^{n+1}(1-p)+p-p^{n+1}}{1-p}}\Rightarrow \sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^{2}}}

6. $\sum _{i=0}^{n}p^{i}=(p-1)\sum _{i=0}^{n-1}((n-i)p^{i})+n+1,\quad p\neq 1$

Доказательство

(p-1)\sum _{i=0}^{n-1}((n-i)p^{i})+n+1=(p-1)\sum _{i=0}^{n}((n-i)p^{i})+n+1=(p-1)\left(n\cdot \sum _{i=0}^{n}p^{i}-\sum _{i=0}^{n}ip^{i}\right)+n+1=

=(p-1)\left(n\cdot {\frac {1-p^{n+1}}{1-p}}-{\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^{2}}}\right)+n+1=

={\frac {np^{n+2}-np-np^{n+1}+n-np^{n+2}+np^{n+1}+p^{n+1}-p+pn-n+p-1}{p-1}}=

={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}=\sum _{i=0}^{n}p^{i}

Стоит заметить, что при

p=10\

получаем

\sum _{i=0}^{n}10^{i}=9\cdot \sum _{i=0}^{n-1}((n-i)10^{i})+n+1

, а это последовательность равенств следующего вида:

1=9\cdot 0+1,\quad 11=9\cdot 1+2,\quad 111=9\cdot 12+3,\quad 1111=9\cdot 123+4,\quad 11111=9\cdot 1234+5

Неопределённая сумма

Неопределённой суммой $a_{i}$ по $i$ называется такая функция $f(i)$ , обозначаемая $\sum _{i}^{}a_{i}$ , что $\forall i:f(i+1)-f(i)=a_{i}$ .

Формула Ньютона-Лейбница

Если найдена неопределённая сумма $\sum _{i}^{}a_{i}=f(i)$ , то $\sum _{i=a}^{b}a_{i}=f(b+1)-f(a)$ .

Этимология

Латинское слово summa переводится как «главный пункт», «сущность», «итог». С XV века слово начинает употребляться в современном смысле, появляется глагол «суммировать» (1489 год).

Это слово проникло во многие современные языки: сумма в русском, sum в английском, somme во французском.

Специальный символ для обозначения суммы (S) первым ввёл Эйлер в 1755 году. Как вариант, использовалась греческая буква Сигма Σ. Позднее ввиду связи понятий суммирования и интегрирования, S также использовали для обозначения операции интегрирования.

Кодировка

В Юникоде есть символ суммы U+2211 ∑ n-ary summation (HTML ∑ · ∑).

См. также

Примечания

↑ Chapter 2: Sums // Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (2nd Edition) : [англ.]. — Addison-Wesley Professional, 1994. — ISBN 978-0201558029. (недоступная ссылка)

Литература

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 7-е. — М.: Наука, 1969. — Т. 1. — 608 с. — 100 000 экз.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[1] Chapter 2: Sums // Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (2nd Edition) : [англ.]. — Addison-Wesley Professional, 1994. — ISBN 978-0201558029. (недоступная ссылка)