WikiSort.ru - Не сортированное

Натуральные числа

Воспользуемся определением натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств ${\displaystyle C,A,B}$ порождённых биекциями, с помощью скобок: ${\displaystyle [C],[A],[B]}$ . Тогда арифметическая операция «сложение» определяется следующим образом:

${\displaystyle [C]=[A]+[B]=[A\sqcup B];}$

где ${\displaystyle A\sqcup B}$  — дизъюнктное объединение множеств. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

Взаимно однозначное отображение конечного множества ${\displaystyle A}$ на отрезок ${\displaystyle N_{a}}$ можно понимать как нумерацию элементов множества ${\displaystyle A:\quad A\sim N_{a}}$ . Этот процесс нумерации называют «СЧЕТОМ»^[17]. Таким образом, «счет» - это установление взаимно однозначного соответствия между элементами множества и отрезком натурального ряда чисел^[18].

Для сложения натуральных чисел в позиционной системе обозначения чисел применяется поразрядный алгоритм сложения. Если даны два натуральных числа ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$  такие, что:

${\displaystyle a=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0},\quad b=b_{n-1}b_{n-2}\dots b_{0},\quad \forall a_{k},b_{k}\in \{P\}\quad \forall a_{n-1},b_{n-1}\neq 0\quad \exists 0\in \mathbb {N} ;}$

где: ${\displaystyle a_{0\dots n-1}=a_{k}P^{k},\quad b_{0\dots n-1}=b_{k}P^{k}}$ ;

${\displaystyle n}$ - количество цифр в числе ${\displaystyle n\in \{1,2,\dots ,n\}}$ ;

${\displaystyle k}$ - порядковый номером разряда (позиции), ${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n-1\}}$ ;

${\displaystyle P}$ - основание системы счисления;

${\displaystyle \{P\}}$ множество числовых знаков (цифр), конкретной системы счисления:

${\displaystyle \{P_{2}\}=\{0,1\}}$ ,

${\displaystyle \{P_{10}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}}$ ,

${\displaystyle \{P_{16}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F\}}$ ;

тогда:

${\displaystyle c=a+b;\quad c_{n-1}c_{n-2}\dots c_{0}=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}+b_{n-1}b_{n-2}\dots b_{0};}$

складывая поразрядно, получаем^{[коллизия переменных: c - значит две разные вещи]}:

• ${\displaystyle c_{0}={\begin{cases}a_{0}+b_{0},\quad c_{1}=0&{\text{if }}a_{0}+b_{0}\leqslant P-1{\text{ }}\\a_{0}+b_{0}-P,\quad c_{1}=1&{\text{if }}a_{0}+b_{0}>P-1{\text{ }}\end{cases}}}$
• ${\displaystyle c_{1}={\begin{cases}a_{1}+b_{1}+c_{1},\quad c_{2}=0&{\text{if }}a_{1}+b_{1}+c_{1}\leqslant P-1{\text{ }}\\a_{1}+b_{1}+c_{1}-P,\quad c_{2}=1&{\text{if }}a_{1}+b_{1}+c_{1}>P-1{\text{ }}\end{cases}}}$
• ${\displaystyle ...\quad \quad ...\quad \quad ...}$
• ${\displaystyle c_{n-1}={\begin{cases}a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1},\quad c_{n}=0&{\text{if }}a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}\leqslant P-1{\text{ }}\\a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}-P,\quad c_{n}=1&{\text{if }}a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}>P-1{\text{ }}\end{cases}}}$

Таким образом операция сложения сводится к процедуре последовательного простого сложения одноразрядных чисел ${\displaystyle a_{k}+b_{k}}$ , с формированием единицы переноса при необходимости, которое производится либо табличным методом, либо инкрементированием (счетом).

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами^[19]. При этом нужно пользоваться таблицей сложения, соответствующей данному основанию ${\displaystyle P}$ системы счисления.

Пример сложения натуральных чисел в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления, для удобства числа записываются друг под другом соответственно разрядам, единица переноса пишется сверху, недостающие разряды дополняются нулями:

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}&_{1}&_{1}&_{1}\\&0&1&0&1&1&0\\+&1&1&1&1&0&1\\\hline 1&0&1&0&0&1&1\end{array}};\quad \quad {\begin{array}{ccccccc}&_{1}&_{1}&_{1}\\&3&4&5&6&7\\+&8&7&5&4&1\\\hline 1&2&2&1&0&8\end{array}};\quad \quad {\begin{array}{ccccccc}&_{1}&&_{1}&_{1}&_{1}\\&C&5&6&D&E&4\\+&0&F&2&A&1&F\\\hline &D&4&9&8&0&3\end{array}}.}$

Целые числа

Множество целых чисел — расширение множества натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ , получаемое добавлением отрицательных чисел ^[20] вида ${\displaystyle -n}$ . Множество целых чисел обозначается ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ Арифметические операции над целыми числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над натуральными числами. Отличие от натуральных чисел состоит в том, что отрицательные числа на числовой прямой направлены в противоположную сторону, это несколько меняет процедуру сложения. Необходимо учитывать взаимное направление чисел, здесь возможны несколько случаев:

• Если оба слагаемых положительные, тогда: ${\displaystyle c=a+b;}$
• Если одно из слагаемых отрицательно, тогда нужно от слагаемого с большим значением модуля вычесть слагаемое с меньшим значением модуля, после чего перед полученным числом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше: ${\displaystyle c=-a+b=b+(-a)=b-a;}$
• Если оба слагаемых отрицательны, тогда: ${\displaystyle c=(-a)+(-b)=-(|a|+|b|)}$ ^[21].

Например, рассмотрим выражение: ${\displaystyle -6+4=-2}$ ; так как у чисел ${\displaystyle -6}$ и ${\displaystyle 4}$ разные знаки, то их абсолютные величины вычитаются (из большего меньшее): ${\displaystyle |-6|-|4|=6-4=2}$ , и так как абсолютная величина отрицательного числа здесь больше абсолютной величины положительного числа ${\displaystyle |-6|>|4|}$ , то ответ будет отрицательным ${\displaystyle -2}$ .

Рациональные числа

Множество рациональных чисел обозначается ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (от англ. quotient «частное») и может быть записано в таком виде: ${\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}\mid m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \right\}.}$

Для сложения рациональных чисел в виде обыкновенных (или простых) дробей вида: ${\displaystyle \pm {\frac {m}{n}}}$ , их следует преобразовать (привести) к общему (одинаковому) знаменателю. Например, взять произведение знаменателей, числители при этом умножаются на соответствующие знаменатели. Затем сложить полученные числители, а произведение знаменателей станет общим.

Если даны два рациональных числа ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ такие, что: ${\displaystyle a={\frac {m_{a}}{n_{a}}},b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}\quad \forall m_{a},n_{a},m_{b},n_{b}\in \mathbb {N} \quad \forall {n_{a}},{n_{b}}\neq 0}$ (дроби не сокращаемые), тогда:

${\displaystyle c=a+b={\frac {m_{a}}{n_{a}}}+{\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a}\cdot n_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}+{\frac {n_{a}\cdot m_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}={\frac {m_{a}\cdot n_{b}+m_{b}\cdot n_{a}}{n_{a}\cdot n_{b}}}.}$ ^[22]

Либо можно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Порядок действий:

• Находим наименьшее общее кратное знаменателей: ${\displaystyle M=[n_{a},n_{b}]}$ .
• Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на ${\displaystyle {\frac {M}{n_{a}}}}$ .
• Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на ${\displaystyle {\frac {M}{n_{b}}}}$ .

После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны ${\displaystyle M}$ ). В ряде простых случаев это упрощает вычисления, но в случае больших чисел расчёты значительно усложняются. Можно взять в качестве ${\displaystyle M}$ любое другое общее кратное.

Пример сложения:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}+{\frac {1}{5}}={\frac {2\cdot 5}{3\cdot 5}}+{\frac {3\cdot 1}{3\cdot 5}}={\frac {2\cdot 5+3\cdot 1}{3\cdot 5}}={\frac {10+3}{15}}={\frac {13}{15}}.}$

Если знаменатели обеих дробей совпадают, то:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {1+2}{4}}={\frac {3}{4}}.}$

Если знаменатели кратны какому либо числу, то преобразуем только одну дробь:

${\displaystyle {\frac {3}{8}}+{\frac {1}{4}}={\frac {3}{8}}+{\frac {1\cdot 2}{4\cdot 2}}={\frac {3+1\cdot 2}{8}}={\frac {5}{8}}.}$

Арифметическая операция «сложение» над рациональными числами относится к замкнутым операциям.

Вещественные числа

Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение^[23] соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями:

${\displaystyle \alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\}}$ ,

${\displaystyle \beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\}}$

определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: ${\displaystyle \alpha =[a_{n}]}$ и ${\displaystyle \beta =[b_{n}]}$ , то их суммой называют число ${\displaystyle \gamma =[c_{n}]}$ , определённое суммой последовательностей ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ и ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ :

${\displaystyle \gamma =\alpha +\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]+[b_{n}]=[a_{n}+b_{n}]}$ ;

вещественное число ${\displaystyle \gamma =\alpha +\beta }$ , удовлетворяет следующему условию:

${\displaystyle \forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ;~~~~(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \gamma \leqslant a''+b'')}$ .

Таким образом суммой двух вещественных чисел  ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$  является такое вещественное число ${\displaystyle \gamma }$  которое содержится между всеми суммами вида ${\displaystyle a'+b'}$  с одной стороны и всеми суммами вида ${\displaystyle a''+b''}$  с другой стороны^[24].

На практике для того, чтобы сложить два числа ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ , необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ . За приближенное значение суммы чисел ${\displaystyle \alpha +\beta }$ берут сумму указанных рациональных чисел ${\displaystyle a+b}$ . При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ . Сложение производится по алгоритму поразрядного сложения.

При сложении приближённых чисел их абсолютные погрешности складываются ${\displaystyle \Delta (a+b)=\Delta a+\Delta b}$ , абсолютная погрешность числа принимается равной половине последнего знака этого числа. Относительная погрешность суммы заключена между наибольшим и наименьшим значениями относительных погрешностей слагаемых; на практике принимается наибольшее значение ${\displaystyle \delta (a+b)=max(\delta a,\delta b)}$ . Полученный результат округляют до первой верной значащей цифры, значащая цифра приближенного числа является верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример сложения ${\displaystyle \gamma =\pi +e}$ , с точностью до 3-го знака после запятой:

• Округляем данные числа до 4-го знака после запятой (для повышения точности вычислений);
• Получаем: ${\displaystyle \pi \approx 3.1416,\quad e\approx 2.7183}$ ;
• Поразрядно складывам: ${\displaystyle \gamma =\pi +e\approx 3.1416+2.7183\approx 5.8599}$ ;
• Округляем до 3-го знака после запятой: ${\displaystyle \gamma \approx 5.860}$ .

График

На множестве вещественных чисел график функции сложения имеет вид плоскости проходящей через начало координат и наклоненной к осям на 45° угловых градусов. Так как ${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} }$ , то и для этих множеств значения функции сложения будет принадлежать этой плоскости.^[25]

Комплексные числа

Комплексные числа складываются друг с другом путём сложения действительных и мнимых частей^[26]. Это значит, что:

${\displaystyle c+fi=(a+di)+(b+ei)=(a+b)+(d+e)i.\ }$

Где: ${\displaystyle c,a,b,d,e,f\in \mathbb {R} }$ , ${\displaystyle i}$ — мнимая единица .Используя представление комплексных чисел как точек на комплексной плоскости, можно дать сложению комплексных чисел следующую геометрическую интерпретацию: суммой комплексных чисел ${\displaystyle a+di}$ и ${\displaystyle b+ei}$ , представленных точками на комплексной плоскости, является точка C, полученная путём построения параллелограмма, три вершины которого находятся в точках O, A и B. Или, можно сказать, что C — это такая точка, что треугольники OAB и CBA конгруэнтны.

Аналогично для гиперкомплексных чисел (комплексных чисел n-ой размерности): ${\displaystyle A=a_{1}1+a_{2}i_{2}+\dots +a_{n}i_{n},~~~B=b_{1}1+b_{2}i_{2}+\dots +b_{n}i_{n};}$ ${\displaystyle C=A+B=(a_{1}1+a_{2}i_{2}+\dots +a_{n}i_{n})+(b_{1}1+b_{2}i_{2}+\dots +b_{n}i_{n})=}$ ${\displaystyle =(a_{1}+b_{1})1+(a_{2}+b_{2})i_{2}+\dots +(a_{n}+b_{n})i_{n}=c_{1}1+c_{2}i_{2}+\dots +c_{n}i_{n}.}$ ^[27]

Экспоненциальная запись

В экспоненциальной записи числа записываются в виде ${\displaystyle a=\pm x\cdot P^{\pm n}}$ , где ${\displaystyle x}$  — мантисса, ${\displaystyle P^{n}}$  — характеристика числа, ${\displaystyle P}$ - основание системы счисления. Для сложения двух чисел, которые записаны в экспоненциальной форме, требуется, чтобы у них были одинаковые характеристики: ${\displaystyle a\cdot P^{n}+b\cdot P^{n}=(a+b)\cdot P^{n},}$ согласно свойству дистрибутивности.

Например:

${\displaystyle 2.3\cdot 10^{-5}+5.67\cdot 10^{-6}=2.34\cdot 10^{-5}+0.567\cdot 10^{-5}=(2.34+0.567)\cdot 10^{-5}=2.907\cdot 10^{-5}}$

Особый случай составляет сложение больших и малых чисел, когда одно число намного больше другого. Например ${\displaystyle a\gg b}$ , тогда соответственно и погрешности этих чисел будут несопоставимы ${\displaystyle \Delta a\gg \Delta b}$ и при выполнении сложения бо′льшая погрешность поглотит меньшую. Таким образом возможно нарушение свойства ассоциативности.

Например выражение: ${\displaystyle 5,6\cdot 10^{8}+7,2+(-5,6\cdot 10^{8})}$ , если выполнить ${\displaystyle 5,6\cdot 10^{8}+7,2}$ получится после округления результата ${\displaystyle \approx 5,6\cdot 10^{8}}$ , складывая далее получим ${\displaystyle 5,6\cdot 10^{8}+(-5,6\cdot 10^{8})=0}$ , если выполнять сложение в ином порядке, тогда: ${\displaystyle 5,6\cdot 10^{8}+(-5,6\cdot 10^{8})+7,2=0+7,2=7,2}$ . Таким образом получаются два различных результата.

Сложение произвольных чисел

При сложении чисел принадлежащих разным множествам необходимо произвести расширение числа из множества с меньшей мощностью в сторону числа из множества с большей мощностью, либо оба числа расширить до уравнивания множеств, если существует такая возможность. Например, если нужно сложить натуральное число ${\displaystyle 3}$ с рациональным ${\displaystyle 4,56}$ , то воспользовавшись тем, что натуральные числа являются подмножеством рациональных, расширяем число ${\displaystyle 3}$ до рационального ${\displaystyle 3,00}$ и складываем два рациональных числа ${\displaystyle 3,00+4,56=7,56}$ . Аналогично, пользуясь тем, что: ${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} }$ можно складывать числа из различных множеств между собой.^{[источник не указан 889 дней]}

Возвращаясь к примеру с яблоками воспользуемся тем, что множество яблок и множество груш являются подмножествами множества фруктов: ${\displaystyle \{{\mbox{apple}}\}\subset \{{\text{apples}}\}\subset \{{\text{fruit}}\}~~~{\text{end}}~~~\{{\text{pear}}\}\subset \{{\text{pears}}\}\subset \{{\text{fruit}}\},}$ можно сложить 3 яблока и 2 груши расширив оба множества до множества фруктов: ${\displaystyle 3}$ фрукта_яблока ${\displaystyle +2}$ фрукта_груши ${\displaystyle =5}$ фруктов.^[стиль]