Факториа́л — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. Название происходит от лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л. Факториал натурального числа n определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:
Например,
Из определения факториала следует соотношение , откуда при формально находим
Последнее равенство обычно принимают в качестве соглашения, хотя, как показано выше, оно следует из определения факториала для натуральных чисел при условии, что все значения функции связаны единым рекуррентным соотношением.
n | n! |
---|---|
0 | 1 |
1 | 1 |
2 | 2 |
3 | 6 |
4 | 24 |
5 | 120 |
6 | 720 |
7 | 5040 |
8 | 40320 |
9 | 362880 |
10 | 3628800 |
11 | 39916800 |
12 | 479001600 |
13 | 6227020800 |
14 | 87178291200 |
15 | 1307674368000 |
16 | 20922789888000 |
17 | 355687428096000 |
18 | 6402373705728000 |
19 | 121645100408832000 |
20 | 2432902008176640000 |
25 | ≈1,551121004⋅1025 |
50 | ≈3,041409320⋅1064 |
70 | ≈1,197857167⋅10100 |
100 | ≈9,332621544⋅10157 |
450 | ≈1,733368733⋅101000 |
1000 | ≈4,023872601⋅102567 |
3249 | ≈6,412337688⋅1010000 |
10000 | ≈2,846259681⋅1035659 |
25206 | ≈1,205703438⋅10100000 |
100000 | ≈2,824229408⋅10456573 |
205023 | ≈2,503898932⋅101000004 |
1000000 | ≈8,263931688⋅105565708 |
10100 | ≈109,956570552⋅10101 |
101000 | ≈10101003 |
1010 000 | ≈101010 004 |
10100 000 | ≈1010100 005 |
1010100 | ≈101010100 |
Факториал активно используется в различных разделах математики: комбинаторике, математическом анализе, теории чисел, функциональном анализе и др.
Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем любая показательная функция или любая степенная функция, а также быстрее, чем любая сумма произведений этих функций. Однако, степенно-показательная функция растёт быстрее факториала, так же как и большинство двойных степенных, например .
В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:
ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA
Комбинаторная интерпретация факториала подтверждает целесообразность соглашения — количество перестановок пустого множества равно единице. Кроме того, формула для числа размещений из элементов по
при обращается в формулу для числа перестановок из элементов (порядка ), которое равно .
Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением
Это же выражение используют для обобщения понятия факториала на множество вещественных чисел. Используя аналитическое продолжение гамма-функции, область определения факториала также расширяют на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .
Непосредственным обобщением факториала на множества вещественных и комплексных чисел служит пи-функция , которая при может быть определена как
Пи-функция натурального числа или нуля совпадает с его факториалом: . Как и факториал, пи-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению .
Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:
Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:
При этом можно утверждать, что
Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Например, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что
Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени
Таким образом,
где произведение берётся по всем простым числам. Можно заметить, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, следовательно произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.
Для целого неотрицательного числа n:
Например:
Факториальные выражения появились ещё в ранних исследованиях по комбинаторике, хотя компактное обозначение предложил французский математик Кристиан Крамп только в 1808 году[2]. Важным этапом стало открытие формулы Стирлинга, которую Джеймс Стирлинг опубликовал в своём трактате «Дифференциальный метод» (лат. Methodus differentialis, 1730 год). Немного ранее почти такую же формулу опубликовал друг Стирлинга Абрахам де Муавр, но в менее завершённом виде (вместо коэффициента была неопределённая константа)[3].
Стирлинг подробно исследовал свойства факториала, вплоть до выяснения вопроса о том, нельзя ли распространить это понятие на произвольные вещественные числа. Он описал несколько возможных путей к реализации этой идеи и высказал мнение, что:
Стирлинг не знал, что годом ранее решение проблемы уже нашёл Леонард Эйлер. В письме к Кристиану Гольдбаху Эйлер описал требуемое обобщение[4]:
Развивая эту идею, Эйлер в следующем, 1730 году ввёл понятие гамма-функции в виде классического интеграла. Эти результаты он опубликовал в журнале Санкт-Петербургской Академии наук в 1729—1730 годах.
Двойной факториал числа n обозначается n‼ и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность, что и n.
Связь между двойными факториалами двух соседних целых неотрицательных чисел и обычным факториалом одного из них.
|
|
Пример, иллюстрирующий использованное выше выведение формулы:
Осуществив замену для чётного n и для нечётного n соответственно, где — целое неотрицательное число, получим:
По договорённости: . Также это равенство выполняется естественным образом:
Двойной факториал, также как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.
Последовательность значений n!! начинается так[5]:
m-кратный факториал числа n обозначается и определяется следующим образом. Пусть число n представимо в виде где Тогда[6]
Обычный и двойной факториалы являются частными случаями m-кратного факториала для m = 1 и m = 2 соответственно.
Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением[7]:
Убывающим факториалом называется выражение
Например:
Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.
Возрастающим факториалом называется выражение
Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается pn# и определяется как произведение n первых простых чисел. Например,
Иногда праймориалом называют число , определяемое как произведение всех простых чисел, не превышающих заданное n.
Последовательность праймориалов (включая ) начинается так[8]:
Нейл Слоан и Симон Плуффэ в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен
(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).
В общем
Последовательность суперфакториалов чисел начинается так[9]:
Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли , что привело к гиперфакториалам (англ. Hyperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел начинается так[10]:
Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение (m − 1)-уровневых факториалов чисел от 1 до n, то есть
где для и
Субфакториал !n определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок n-элементного множества без неподвижных точек.
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .