WikiSort.ru - Не сортированное

Дискретные распределения

Определение 3. Случайная величина называется простой или дискретной, если она принимает не более, чем счётное число значений. То есть ${\displaystyle X(\omega )=a_{i},\;\forall \omega \in A_{i}}$ , где ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$  — разбиение ${\displaystyle \Omega }$ .

Распределение простой случайной величины тогда по определению задаётся: ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)=\sum _{i:a_{i}\in B}\mathbb {P} (A_{i})}$ . Введя обозначение ${\displaystyle p_{i}=\mathbb {P} (A_{i})}$ , можно задать функцию ${\displaystyle p(a_{i})=p_{i}}$ . Очевидно, что ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }p_{i}=1}$ . Используя счётную аддитивность ${\displaystyle \mathbb {P} }$ , легко показать, что эта функция однозначно определяет распределение ${\displaystyle X}$ .

Определение 4. Функция ${\displaystyle p(a_{i})=p_{i}}$ , где ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }p_{i}=1}$ часто называется дискретным распределением.

Пример 1. Пусть функция ${\displaystyle p}$ задана таким образом, что ${\displaystyle p(-1)={\frac {1}{2}}}$ и ${\displaystyle p(1)={\frac {1}{2}}}$ . Эта функция задаёт распределение случайной величины ${\displaystyle X}$ , для которой ${\displaystyle \mathbb {P} (X=\pm 1)={\frac {1}{2}}}$ (распределение Бернулли).

Теорема 3. Дискретное распределение обладает следующими свойствами:

1. ${\displaystyle p_{i}\geqslant 0}$ ;

2. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}=1}$ .

Решётчатые распределения

Определение 5. Решётчатым называется распределение с дискретной функцией распределения и точки разрыва функции распределения образуют подмножество точек вида ${\displaystyle a+nh}$ , где ${\displaystyle a}$ - вещественное, ${\displaystyle h>0}$ , ${\displaystyle n}$ - целое^[1].

Пример 2. Распределение Пуассона является решётчатым.

Пример 3. Биномиальное распределение является решётчатым.

Теорема 4. Для того, чтобы функция распределения ${\displaystyle F}$ была решётчатой с шагом ${\displaystyle h}$ , необходимо и достаточно, чтобы её характеристическая функция ${\displaystyle f}$ удовлетворяла соотношению ${\displaystyle |f(2\pi /h)|=1}$ ^[1].

Доказательство.

Необходимость. Обозначим как ${\displaystyle \left\{a+nh\right\}}$ множество, содержащее все точки разрыва функции ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle p_{n}=F(a+nh)-F(a+nh-0)}$ . Тогда характеристическая функция ${\displaystyle f(t)=\sum _{n}p_{n}\exp \left[i(a+nh)t\right]}$ . Следовательно, ${\displaystyle f({\frac {2\pi }{h}})=\exp(i{\frac {2\pi a}{h}})}$ и ${\displaystyle \left|f({\frac {2\pi }{h}})\right|=1}$ .

Достаточность. Если ${\displaystyle \left|f({\frac {2\pi }{h}})\right|=1}$ , то ${\displaystyle f({\frac {2\pi }{h}})=\exp(i{\frac {2\pi a}{h}})}$ для некоторого вещественного ${\displaystyle a}$ . Тогда ${\displaystyle \int \exp \left[{\frac {i2\pi (x-a)}{h}}\right]dF(x)=1}$ . Из этого равенства следует: ${\displaystyle \int (1-\cos \left[{\frac {2\pi (x-a)}{h}}\right])dF(x)=0}$ В силу неотрицательности подынтегральной функции, мера множества ${\displaystyle \left\{x:1-\cos \left[{\frac {2\pi (x-a)}{h}}\right]>0\right\}}$ равна нулю. Таким образом, функция распределения ${\displaystyle F}$ может иметь своими точками роста лишь точки из множества ${\displaystyle \left\{a+nh\right\}}$ ^[1].

Следствием этой теоремы является следующее свойство решётчатых распределений: если решётчатая функция распределения ${\displaystyle F}$ c шагом ${\displaystyle h}$ является свёрткой функций распределения ${\displaystyle F_{1}}$ и ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F=F_{1}*F_{2}}$ , то ${\displaystyle F_{1}}$ и ${\displaystyle F_{2}}$ также являются решётчатыми с шагом ${\displaystyle h}$ ^[1].

Доказательство. Обозначим через ${\displaystyle f,f_{1},f_{2}}$ характеристические функции функций распределения ${\displaystyle F,F_{1},F_{2}}$ . Тогда ${\displaystyle \left|f_{1}({\frac {2\pi }{h}})\right|\left|f_{2}({\frac {2\pi }{h}})\right|=\left|f({\frac {2\pi }{h}})\right|}$ . Так как модуль любой характеристической функции на вещественной оси не превосходит ${\displaystyle 1}$ , то ${\displaystyle \left|f_{1}({\frac {2\pi }{h}})\right|=\left|f_{2}({\frac {2\pi }{h}})\right|=1}$ и доказательство завершено^[1].

Непрерывные распределения

Непрерывное распределение — распределение, не имеющее атомов.

Абсолютно непрерывные распределения

Абсолютно непрерывными называют распределения, имеющие плотность вероятности. Кумулятивная функция таких распределений абсолютно непрерывна в смысле Лебега.

Определение 6. Распределение случайной величины ${\displaystyle X}$ называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная функция ${\displaystyle f_{X}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}$ , такая что ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)\equiv \mathbb {P} (X\in B)=\int \limits _{B}f_{X}(x)\,dx}$ . Функция ${\displaystyle f_{X}}$ тогда называется плотностью распределения случайной величины ${\displaystyle X}$ .

Пример 4. Пусть ${\displaystyle f(x)=1}$ , когда ${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant 1}$ , и ${\displaystyle 0}$  — в противном случае. Тогда ${\displaystyle \mathbb {P} (a<X<b)=\int \limits _{a}^{b}1\,dx=b-a}$ , если ${\displaystyle (a,b)\subset [0,1]}$ .

Очевидно, что для любой плотности распределения ${\displaystyle f_{X}}$ верно равенство ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx=1}$ . Верна и обратная

Теорема 5. Если функция ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ такая, что:

1. ${\displaystyle f(x)\geqslant 0,\;\forall x\in \mathbb {R} }$ ;
2. ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1}$ ,

то существует распределение ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ такое, что ${\displaystyle f(x)}$ является его плотностью.

Просто применение формулы Ньютона-Лейбница приводит к простому соотношению между кумулятивной функцией и плотностью абсолютно непрерывного распределения.

Теорема 6. Если ${\displaystyle f(x)}$  — непрерывная плотность распределения, а ${\displaystyle F(x)}$  — его кумулятивная функция, то

1. ${\displaystyle F'(x)=f(x),\;\forall x\in \mathbb {R} ,}$
2. ${\displaystyle F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)\,dt}$ .

При построении распределения по эмпирическим (опытным) данным следует избегать ошибок округления.

Сингулярные распределения

Сингулярными называют распределения, сосредоточенные на множестве нулевой меры (обычно меры Лебега).