WikiSort.ru - Не сортированное

Числовой ряд — числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Рассматриваются числовые ряды двух видов:

• вещественные числовые ряды — изучаются в математическом анализе;
• комплексные числовые ряды — изучаются в комплексном анализе;

Важнейший вопрос исследования числовых рядов — это сходимость числовых рядов.

Числовые ряды применяются в качестве системы приближений к числам.

Обобщением понятия ряда является понятие двойного ряда.

Сумма числового ряда ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}+\ldots \ }$ определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится^[1].

Определение

Пусть ${\displaystyle \{a_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$  — числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность

${\displaystyle \{s_{k}\}_{k=1}^{\infty },}$

каждый элемент которой представляет собой сумму первых k членов исходной последовательности, называемой частичной суммой вида:

${\displaystyle s_{k}=\sum _{i=1}^{k}a_{i}.}$

Рядом называется совокупность этих двух последовательностей. Вообще, для обозначения ряда используется символ:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i},}$

поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.

В соответствии с этим говорится о сходимости числового ряда:

• числовой ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм;
• числовой ряд расходится, если предел частичных сумм не существует или бесконечен;
• числовой ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей его членов.

Если числовой ряд сходится, то предел ${\displaystyle S}$ последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i},}$

Таким образом, если существует число ${\displaystyle S=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$ , то в этом случае пишут ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=S}$ .

Дальнейшим обобщением понятия суммы ряда является понятие суммирующей функции ряда.

Операции над рядами

Пусть заданы сходящиеся ряды ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ и ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}$ . Тогда:

• Их суммой называется ряд ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})}$
• Их произведением по Коши называется ряд ${\displaystyle \sum c_{n}}$ , где ${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}}$

Если оба ряда сходятся, то их сумма сходится. Если оба ряда сходятся абсолютно, то их сумма сходится абсолютно. Если хотя бы один из рядов сходится абсолютно, то произведение рядов сходится.

Необходимый признак сходимости ряда

Ряд ${\displaystyle {u}_{1}+{u}_{2}+{u}_{3}+...+{u}_{n}+...}$ может сходиться лишь в том случае, когда член ${\displaystyle {u}_{n}}$ (общий член ряда) стремится к нулю:
${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{u}_{n}=0.}$

Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.

Критерий абсолютной сходимости

Ряд из действительных чисел сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся два ряда: ряд из положительных его членов и ряд из отрицательных членов.

Сходимость числовых рядов

Свойство 1. Если ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{u}_{n}={u}_{1}+{u}_{2}+{u}_{3}+{u}_{4}+...}$   (1.1)

сходится и его сумма равна S, то ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }c{u}_{n}=c{u}_{1}+c{u}_{2}+c{u}_{3}+c{u}_{4}+...}$  (1.2)

где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд (1.2) расходится.

Свойство 2. Если сходится ряд (1.1) и сходится ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{v}_{n}}$ ,

а их суммы равны ${\displaystyle {S}_{1}}$ и ${\displaystyle {S}_{2}}$ соответственно, то сходятся и ряды

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }({u}_{n}\pm {v}_{n})}$ ,

причём сумма каждого равна соответственно ${\displaystyle {S}_{1}\pm {S}_{2}}$ .

Примеры

• ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }q^{n}={\frac {1}{1-q}},}$ где ${\displaystyle |q|<1,}$  — сумма геометрической прогрессии, в частности
  • ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\ldots =2}$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}}$ сходится для любой константы α>1, в частности
  • ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ (ряд обратных квадратов).
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}={\infty }}$  — гармонический ряд расходится. Расходится и ряд ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\ln n}}}$ .
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)=1}$  — телескопический ряд.

Примечания

Литература

• В. А. Зорич. Глава III. Предел. § 1. Предел последовательности // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 104—114. — 544 с.

• Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — 12-е изд. — М.: Наука, 1977.
• Письменный Д. Т. Часть 2 // Конспект лекций по высшей математике. — 6-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2008.
• Савельева Р. Ю. Высшая математика. Теория рядов.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — Т. 2. — 680 с. — ISBN 5-9221-0155-2.