WikiSort.ru - Не сортированное

Классическая механика

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (m{\vec {v}})}{\mathrm {d} t}}={\vec {F}}}$ Второй закон Ньютона

История…

Фундаментальные понятия Пространство · Время · Масса· Скорость · Сила · Механическая работа · Энергия · Импульс

Формулировки Ньютоновская механика · Лагранжева механика · Гамильтонова механика · Формализм Гамильтона — Якоби · Уравнения Рауса · Уравнения Аппеля · Теория Купмана — фон Неймана

Разделы Прикладная механика · Небесная механика · Механика сплошных сред · Геометрическая оптика · Статистическая механика

Учёные Галилей · Кеплер · Ньютон · Эйлер · Лаплас · Д’Аламбер · Лагранж · Гамильтон · Коши

См. также: Портал:Физика

Зако́ны Нью́то́на — три важнейших закона классической механики, которые позволяют записать уравнения движения для любой механической системы, если известны силы, действующие на составляющие её тела. Впервые в полной мере сформулированы Исааком Ньютоном в книге «Математические начала натуральной философии» (1687 год)^[1][2]. В ньютоновском изложении механики, широко используемом и в настоящее время, эти законы являются аксиомами, базирующимися на обобщении экспериментальных результатов.

Первый закон Ньютона

Первый закон Ньютона постулирует существование инерциальных систем отсчета. Поэтому он также известен как закон инерции. Инерция (она же инертность^[3]) — свойство тела сохранять скорость своего движения неизменной по величине и направлению, когда не действуют никакие силы, а также свойство тела сопротивляться изменению его скорости. Чтобы изменить скорость движения тела, необходимо приложить некоторую силу, причём результат действия одной и той же силы на разные тела будет различным: тела обладают разной инерцией (инертностью), величина которой характеризуется их массой.

Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона — дифференциальный закон движения, описывающий взаимосвязь между приложенной к материальной точке силой и получающимся от этого ускорением этой точки. Фактически, второй закон Ньютона вводит массу как меру проявления инертности материальной точки в выбранной инерциальной системе отсчёта (ИСО).

Масса материальной точки при этом полагается величиной постоянной во времени и независящей от каких-либо особенностей её движения и взаимодействия с другими телами^[5][6][7][8].

Современная формулировка

В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка с постоянной массой, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе.

При подходящем выборе единиц измерения, этот закон можно записать в виде формулы:

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\vec {F}}{m}},}$

где ${\displaystyle {\vec {a}}}$  — ускорение материальной точки;
${\displaystyle {\vec {F}}}$  — равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке;
${\displaystyle m}$  — масса материальной точки.

Второй закон Ньютона может быть также сформулирован в эквивалентной форме с использованием понятия импульс:

В инерциальной системе отсчета скорость изменения импульса материальной точки равна равнодействующей всех приложенных к ней внешних сил. ${\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}},}$

где ${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}$  — импульс точки, ${\displaystyle {\vec {v}}}$  — её скорость, а ${\displaystyle t}$  — время. При такой формулировке, как и при предшествующей, полагают, что масса материальной точки неизменна во времени^[9][10][11].

Иногда предпринимаются попытки распространить сферу применения уравнения ${\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}}$ и на случай тел переменной массы. Однако, вместе с таким расширительным толкованием уравнения приходится существенным образом модифицировать принятые ранее определения и изменять смысл таких фундаментальных понятий, как материальная точка, импульс и сила^[12][13].

Замечания

Когда на материальную точку действуют несколько сил, с учётом принципа суперпозиции, второй закон Ньютона записывается в виде:

${\displaystyle m{\vec {a}}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {F_{i}}}}$

или

${\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {F_{i}}}.}$

Второй закон Ньютона, как и вся классическая механика, справедлив только для движения тел со скоростями, много меньшими скорости света. При движении тел со скоростями, близкими к скорости света, используется релятивистское обобщение второго закона, получаемое в рамках специальной теории относительности.

Следует учитывать, что нельзя рассматривать частный случай (при ${\displaystyle {\vec {F}}=0}$ ) второго закона как эквивалент первого, так как первый закон постулирует существование ИСО, а второй формулируется уже в ИСО.

Третий закон Ньютона

Этот закон описывает, как взаимодействуют две материальные точки. Возьмём для примера замкнутую систему, состоящую из двух материальных точек. Первая точка может действовать на вторую с некоторой силой ${\displaystyle {\vec {F}}_{1\to 2}}$ , а вторая — на первую с силой ${\displaystyle {\vec {F}}_{2\to 1}}$ . Как соотносятся силы? Третий закон Ньютона утверждает: сила действия ${\displaystyle {\vec {F}}_{1\to 2}}$ равна по модулю и противоположна по направлению силе противодействия ${\displaystyle {\vec {F}}_{2\to 1}}$ .

Третий закон Ньютона является следствием однородности, изотропности и зеркальной симметрии пространства^[14][15].

Современная формулировка

Материальные точки взаимодействуют друг с другом силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению: ${\displaystyle {\vec {F}}_{2\to 1}=-{\vec {F}}_{1\to 2}.}$

Закон утверждает, что силы возникают лишь попарно, причём любая сила, действующая на тело, имеет источник происхождения в виде другого тела. Иначе говоря, сила всегда есть результат взаимодействия тел. Существование сил, возникших самостоятельно, без взаимодействующих тел, невозможно^[16].

Следствия законов Ньютона

Законы Ньютона являются аксиомами классической ньютоновской механики. Из них, как следствия, выводятся уравнения движения механических систем, а также «законы сохранения», указанные ниже. Разумеется, есть и законы (например, всемирного тяготения или Гука), не вытекающие из трёх постулатов Ньютона.

Законы Ньютона и силы инерции

Использование законов Ньютона предполагает задание некой ИСО. Однако, на практике приходится иметь дело и с неинерциальными системами отсчёта. В этих случаях, помимо сил, о которых идёт речь во втором и третьем законах Ньютона, в механике вводятся в рассмотрение так называемые силы инерции.

Обычно речь идёт о силах инерции двух различных типов^[16][21]. Сила первого типа (даламберова сила инерции^[22]) представляет собой векторную величину, равную произведению массы материальной точки на её ускорение, взятое со знаком минус. Силы второго типа (эйлеровы силы инерции^[22]) используются для получения формальной возможности записи уравнений движения тел в неинерциальных системах отсчёта в виде, совпадающем с видом второго закона Ньютона. По определению, эйлерова сила инерции равна произведению массы материальной точки на разность между значениями её ускорения в той неинерциальной системе отсчёта, для которой эта сила вводится, с одной стороны, и в какой-либо инерциальной системе отсчёта, с другой^[16][21]. Определяемые таким образом силы инерции силами в истинном смысле слова не являются^[23][16], их называют фиктивными^[24], кажущимися^[25] или псевдосилами^[26].

Законы Ньютона в логике курса механики

Существуют методологически различные способы формулирования классической механики, то есть выбора её фундаментальных постулатов, на основе которых затем выводятся законы-следствия и уравнения движения. Придание законам Ньютона статуса аксиом, опирающихся на эмпирический материал, — только один из таких способов («ньютонова механика»). Этот подход принят в средней школе, а также в большинстве вузовских курсов общей физики.

Альтернативным подходом, использующимся преимущественно в курсах теоретической физики, выступает лагранжева механика. В рамках лагранжева формализма имеются одна-единственная формула (запись действия) и один-единственный постулат (тела движутся так, чтобы действие было стационарным), являющийся теоретической концепцией. Из этого можно вывести все законы Ньютона, правда, только для лагранжевых систем (в частности, для консервативных систем). Следует, однако, отметить, что все известные фундаментальные взаимодействия описываются именно лагранжевыми системами. Более того, в рамках лагранжева формализма можно легко рассмотреть гипотетические ситуации, в которых действие имеет какой-либо другой вид. При этом уравнения движения станут уже непохожими на законы Ньютона, но сама классическая механика будет по-прежнему применима.

Исторический очерк

Практика применения машин в мануфактурной промышленности, строительство зданий, кораблестроение, использование артиллерии позволили ко времени Ньютона накопиться большому числу наблюдений над механическими процессами. Понятия инерции, силы, ускорения всё более прояснялись в течение XVII столетия. Работы Галилея, Борелли, Декарта, Гюйгенса по механике уже содержали все необходимые теоретические предпосылки для создания Ньютоном в механике логичной и последовательной системы определений и теорем^[27].

Основные законы механики Исаак Ньютон сформулировал в своей книге «Математические начала натуральной философии»^[1]:

Оригинальный текст (лат.)

   LEX I
Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quantenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.

   LEX II
Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

   LEX III

Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes contrarias dirigi.

— «Начала», страница 12

Русский перевод этих формулировок законов см. в предыдущих разделах.

Первый закон (закон инерции), в менее чёткой форме, опубликовал ещё Галилей, допускавший свободное движение не только по прямой, но и по окружности (видимо, из астрономических соображений)^[28]. Галилей также сформулировал важнейший принцип относительности, который Ньютон не включил в свою аксиоматику, потому что для механических процессов данный принцип является следствием уравнений динамики. Кроме того, Ньютон считал пространство и время абсолютными понятиями, едиными для всей Вселенной, и явно указал на это в своих «Началах».

Ньютон также дал строгие определения таких физических понятий, как количество движения (не вполне ясно использованное у Декарта^[28]) и сила. Он ввёл в физику понятие массы как меры инертности тела и, одновременно, его гравитационных свойств (ранее физики пользовались понятием вес).

В середине XVII века ещё не существовало современной техники дифференциального и интегрального исчисления. Соответствующий математический аппарат в 1680-е годы параллельно создавался самим Ньютоном (1642—1727), а также Лейбницем (1646—1716). Завершили математизацию основ механики Эйлер (1707—1783) и Лагранж (1736—1813).

Примечания

Литература

• Лич Дж. У. Классическая механика. М.: Иностр. литература, 1961.
• Спасский Б. И.. История физики. М., «Высшая школа», 1977.
• Том 1. Часть 1-я; Часть 2-я
• Том 2. Часть 1-я; Часть 2-я
• Кудрявцев П. С. Курс истории физики. — М.: Просвещение, 1974.
• Crowell, Benjamin (2011), Light and Matter (2011, Light and Matter), especially at Section 4.2, Newton’s First Law, Section 4.3, Newton’s Second Law, and Section 5.1, Newton’s Third Law.
• Feynman, R. P. The Feynman Lectures on Physics / R. P. Feynman, Leighton, Sands. — 2nd. — Pearson/Addison-Wesley, 2005. — Vol. Vol. 1. — ISBN 0-8053-9049-9.
• Fowles, G. R. Analytical Mechanics / G. R. Fowles, Cassiday. — 6th. — Saunders College Publishing, 1999. — ISBN 0-03-022317-2.
• Likins, Peter W. Elements of Engineering Mechanics. — McGraw-Hill Book Company, 1973. — ISBN 0-07-037852-5.
• Marion, Jerry. Classical Dynamics of Particles and Systems / Jerry Marion, Thornton. — Harcourt College Publishers, 1995. — ISBN 0-03-097302-3.
• NMJ Woodhouse. Special Relativity. — London/Berlin : Springer, 2003. — P. 6. — ISBN 1-85233-426-6.
• Newton, Isaac, «Mathematical Principles of Natural Philosophy», 1729 English translation based on 3rd Latin edition (1726), volume 1, containing Book 1, especially at the section Axioms or Laws of Motion, starting page 19.
• Newton, Isaac, «Mathematical Principles of Natural Philosophy», 1729 English translation based on 3rd Latin edition (1726), volume 2, containing Books 2 & 3.
• Thomson, W (Lord Kelvin), and Tait, P G, (1867), Treatise on natural philosophy, volume 1, especially at Section 242, Newton’s laws of motion.

Ссылки

	Законы Ньютона на Викискладе

• Первый закон Ньютона (видеоурок, программа 9 класса)
• MIT Physics video lecture on Newton’s three laws
• Light and Matter — an on-line textbook
• Simulation on Newton’s first law of motion
• «Newton’s Second Law» by Enrique Zeleny, Wolfram Demonstrations Project.
•  Newton's 3rd Law demonstrated in a vacuum
• The Laws of Motion, BBC Radio 4 discussion with Simon Schaffer, Raymond Flood & Rob Iliffe (In Our Time, Apr.3, 2008)