WikiSort.ru - Не сортированное

Малая категория

Класс объектов обычно не является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория C, в которой ${\displaystyle Ob_{\mathcal {C}}}$ является множеством и Hom(c) является множеством, называется малой. Кроме того, возможно (с небольшим исправлением определения) рассмотрение категорий, в которых морфизмы между любыми двумя объектами также образуют класс, или даже большую структуру^[7]. В этом варианте определения категория, в которой морфизмы между двумя зафиксированными объектами образуют множество, называется локально малой.

Примеры категорий

• Set — категория множеств. Объектами в этой категории являются множества, морфизмами — отображения множеств.
• Grp — категория групп. Объектами являются группы, морфизмами — отображения, сохраняющие групповую структуру (гомоморфизмы групп).
• Vect_K — категория векторных пространств над полем K. Морфизмы — линейные отображения.
• Категория модулей.

Аналогично определяются категории для других алгебраических систем.

• Top — категория топологических пространств. Морфизмы — непрерывные отображения.
• Для любого частично упорядоченного множества можно построить малую категорию, объектами которой являются элементы множества, причём между элементами x и y существует единственный морфизм тогда и только тогда, когда x≤y (разумеется, следует отличать эту категорию от категории частично упорядоченных множеств!).

Коммутативные диаграммы

Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы. Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий (ассоциативность композиции и свойство тождественного морфизма) можно записать с помощью диаграмм:

Двойственность

Для категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ можно определить двойственную категорию ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$ , в которой:

• объекты совпадают с объектами исходной категории;
• морфизмы получаются «обращением стрелок»: ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}^{op}}(B,A)\simeq \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)}$

Принцип двойственности гласит, что для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок, при этом истинность утверждения не изменится. Часто двойственное понятие обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры дальше).

Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм

Морфизм ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (A,B)}$ называется изоморфизмом, если существует такой морфизм ${\displaystyle g\in \mathrm {Hom} (B,A)}$ , что ${\displaystyle g\circ f=\mathrm {id} _{A}}$ и ${\displaystyle f\circ g=\mathrm {id} _{B}}$ . Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.

Морфизмы, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмами. Множество эндоморфизмов ${\displaystyle \mathrm {End} (A)=\mathrm {Hom} (A,A)}$ является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}}$ .

Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизмами, называются автоморфизмами. Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов ${\displaystyle \mathrm {Aut} (A)}$ по композиции.

Мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм

Мономорфизм — это морфизм ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (A,B)}$ такой, что для любых ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in \mathrm {Hom} (X,A)}$ из ${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}}$ следует, что ${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$ . Композиция мономорфизмов есть мономорфизм.

Эпиморфизм — это такой морфизм ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (A,B)}$ , что для любых ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in \mathrm {Hom} (B,X)}$ из ${\displaystyle g_{1}\circ f=g_{2}\circ f}$ следует ${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$ . Композиция эпиморфизмов есть эпиморфизм.

Биморфизм — это морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом. Любой изоморфизм есть биморфизм, но не любой биморфизм есть изоморфизм.

Мономорфизм, эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий инъективного, сюръективного и биективного отображения соответственно. Любой изоморфизм является мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.

Инициальный и терминальный объекты

Инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории — это такой объект, из которого в любой объект категории существует единственный морфизм.

Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.

Двойственным образом определяется терминальный или универсально притягивающий объект — это такой объект, в который из любого объекта категории существует единственный морфизм.

Объект категории называется нулевым, если он одновременно инициальный и терминальный.

Пример: В категории Set инициальным объектом является пустое множество ${\displaystyle \varnothing }$ , терминальным — любое множество из одного элемента ${\displaystyle \{\cdot \}}$ .

Пример: В категории Grp существует нулевой объект — это группа из одного элемента.

Произведение и сумма объектов

Произведение (пары) объектов A и B — это объект ${\displaystyle A\times B}$ с морфизмами ${\displaystyle p_{1}:A\times B\to A}$ и ${\displaystyle p_{2}:A\times B\to B}$ такими, что для любого объекта ${\displaystyle C}$ с морфизмами ${\displaystyle f_{1}:C\to A}$ и ${\displaystyle f_{2}:C\to B}$ существует единственный морфизм ${\displaystyle g:C\to A\times B}$ такой, что диаграмма, изображённая справа, коммутативна. Морфизмы ${\displaystyle p_{1}:A\times B\to A}$ и ${\displaystyle p_{2}:A\times B\to B}$ называются проекциями.

Двойственно определяется сумма или копроизведение ${\displaystyle A+B}$ объектов ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ . Соответствующие морфизмы ${\displaystyle \imath _{A}:A\to A+B}$ и ${\displaystyle \imath _{B}:B\to A+B}$ называются вложениями. Несмотря на своё название, в общем случае они могут и не быть мономорфизмами.

Если произведение и копроизведение существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

Пример: В категории Set произведение A и B — это прямое произведение в смысле теории множеств ${\displaystyle A\times B}$ , а сумма — дизъюнктное объединение ${\displaystyle A\sqcup B}$ .

Пример: В категории Ring сумма — это тензорное произведение ${\displaystyle A\otimes B}$ , а произведение — прямая сумма колец ${\displaystyle A\oplus B}$ .

Пример: В категории Vect_K (конечные) произведение и сумма изоморфны — это прямая сумма векторных пространств ${\displaystyle A\oplus B}$ .

Несложно определить аналогичным образом произведение любого семейства объектов ${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}}$ . Бесконечные произведения устроены в общем случае гораздо сложнее, чем конечные. Например, в то время как конечные произведения и копроизведения в Vect_K изоморфны прямым суммам, бесконечные произведения и копроизведения не являются изоморфными. Элементами бесконечного произведения ${\displaystyle \prod _{i\in I}V_{i}}$ являются произвольные бесконечные последовательности элементов ${\displaystyle v_{i}\in V_{i}}$ , в то время как элементами бесконечного копроизведения ${\displaystyle \coprod _{i\in I}V_{i}}$ являются последовательности, в которых лишь конечное число членов — ненулевые.