WikiSort.ru - Не сортированное

Эта страница — глоссарий.

В математике повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся математических обозначений, соответствующие команды в TeX, объяснения и примеры использования.

Кроме указанных символов, иногда используются их зеркальные отражения, например, ${\displaystyle A\subset B}$ обозначает то же, что и ${\displaystyle B\supset A.}$

Знаки операций, или математические символы — знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами.

К самым распространённым относятся:

• Плюс: +
• Минус: −
• Знаки умножения: ×, ∙ (в программировании также *)
• Знаки деления: :, ∶, /, ∕, ÷
• Знак равенства, приближённого равенства, неравенства: =, ≈, ≠
• Знак пропорциональности: ∝
• Скобки (для определения порядка операций и др.): ( ), [ ], { },〈 〉
• Знак тождественности: ≡
• Знаки сравнения: <, >, ≤, ≥, ≪, ≫
• Знак порядка (тильда): ~
• Знак плюс-минус: ±
• Знак корня (радикал): √
• Факториал: !
• Знак интеграла: ∫
• Знак возведения в степень: ^ (в типографской и рукописной записи формул не применяется; используется в программировании, наряду с более редкими символами ↑ и **, а также в «линейной» текстовой записи формул).

Символ (TeX) (Команда (TeX))	Символ (Юникод)	Название	Значение	Пример
		Произношение
		Раздел математики
${\displaystyle \Rightarrow }$ (\Rightarrow) ${\displaystyle \rightarrow }$ (\rightarrow) ${\displaystyle \supset }$ (\supset)	⇒ → ⊃	Импликация, следование	${\displaystyle A\Rightarrow B}$ означает «если ${\displaystyle A}$ верно, то ${\displaystyle B}$ также верно». (→ может использоваться вместо ⇒ или для обозначения функции, см. ниже.) (⊃ может использоваться вместо ⇒ или для обозначения надмножества, см. ниже.).	${\displaystyle x=2\Rightarrow x^{2}=4}$ верно, но ${\displaystyle x^{2}=4\Rightarrow x=2}$ неверно (так как ${\displaystyle x=-2}$ также является решением).
		«влечёт» или «если…, то» или «отсюда следует»
		везде
${\displaystyle \Leftrightarrow }$ (\Leftrightarrow)	⇔	Равносильность	${\displaystyle A\Leftrightarrow B}$ означает «${\displaystyle A}$ верно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle B}$ верно».	${\displaystyle x+5=y+2\Leftrightarrow x+3=y}$
		«если и только если» или «равносильно»
		везде
${\displaystyle \wedge }$ (\wedge)	∧	Конъюнкция	${\displaystyle A\wedge B}$ истинно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ оба истинны.	${\displaystyle (n>2)\wedge (n<4)\Leftrightarrow (n=3)}$ , если ${\displaystyle n}$  — натуральное число.
		«и»
		Математическая логика
${\displaystyle \vee }$ (\vee)	∨	Дизъюнкция	${\displaystyle A\vee B}$ истинно, когда хотя бы одно из условий ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ истинно.	${\displaystyle (n\leqslant 2)\vee (n\geqslant 4)\Leftrightarrow n\neq 3}$ , если ${\displaystyle n}$  — натуральное число.
		«или»
		Математическая логика
${\displaystyle \neg }$ (\neg)	¬	Отрицание	${\displaystyle \neg A}$ истинно тогда и только тогда, когда ложно ${\displaystyle A}$ .	${\displaystyle \neg (A\wedge B)\Leftrightarrow (\neg A)\vee (\neg B)}$ ${\displaystyle x\notin S\Leftrightarrow \neg (x\in S)}$
		«не»
		Математическая логика
${\displaystyle \forall }$ (\forall)	∀	Квантор всеобщности	${\displaystyle \forall x,P\left(x\right)}$ обозначает «${\displaystyle P\left(x\right)}$ верно для всех ${\displaystyle x}$ ».	${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;n^{2}\geqslant n}$
		«Для любых», «Для всех», «Для всякого»
		Математическая логика
${\displaystyle \exists }$ (\exists)	∃	Квантор существования	${\displaystyle \exists x,\;P\left(x\right)}$ означает «существует хотя бы один ${\displaystyle x}$ такой, что верно ${\displaystyle P\left(x\right)}$ »	${\displaystyle \exists n\in \mathbb {N} ,\;n+5=2n}$ (подходит число 5)
		«существует»
		Математическая логика
${\displaystyle =}$	=	Равенство	${\displaystyle x=y}$ обозначает «${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ обозначают одно и то же значение».	1 + 2 = 6 − 3
		«равно»
		везде
${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle :\Leftrightarrow }$ (:\Leftrightarrow) ${\displaystyle {\stackrel {\rm {def}}{=}}}$ (\stackrel{\rm{def}}{=})	:= :⇔	Определение	${\displaystyle x:=y}$ означает «${\displaystyle x}$ по определению равен ${\displaystyle y}$ ». ${\displaystyle P:\Leftrightarrow Q}$ означает «${\displaystyle P}$ по определению равносильно ${\displaystyle Q}$ »	${\displaystyle {\rm {ch}}\left(x\right):={1 \over 2}\left(e^{x}+e^{-x}\right)}$ (определение гиперболического косинуса) ${\displaystyle A\oplus B:\Leftrightarrow (A\vee B)\wedge \neg (A\wedge B)}$ (определение исключающего «ИЛИ»)
		«равно/равносильно по определению»
		везде
${\displaystyle \{,\}}$	{ }	Множество элементов	${\displaystyle \{a,\;b,\;c\}}$ означает множество, элементами которого являются ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ .	${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,\;2,\;\ldots \}}$ (множество натуральных чисел)
		«Множество…»
		Теория множеств
${\displaystyle \{|\}}$	{|}	Множество элементов, удовлетворяющих условию	${\displaystyle \{x\,|\,P\left(x\right)\}}$ означает множество всех ${\displaystyle x}$ таких, что верно ${\displaystyle P\left(x\right)}$ .	${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} \,|\,n^{2}<20\}=\{1,\;2,\;3,\;4\}}$
		«Множество всех… таких, что верно…»
		Теория множеств
${\displaystyle \varnothing }$ (\varnothing) ${\displaystyle \{\}}$	∅ {}	Пустое множество	${\displaystyle \{\}}$ и ${\displaystyle \varnothing }$ означают множество, не содержащее ни одного элемента.	${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} \,|\,1<n^{2}<4\}=\varnothing }$
		«Пустое множество»
		Теория множеств
${\displaystyle \in }$ (\in) ${\displaystyle \notin }$ (\notin)	∈ ∉	Принадлежность/непринадлежность к множеству	${\displaystyle a\in S}$ означает «${\displaystyle a}$ является элементом множества ${\displaystyle S}$ » ${\displaystyle a\notin S}$ означает «${\displaystyle a}$ не является элементом множества ${\displaystyle S}$ »	${\displaystyle 2\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {1 \over 2}\notin \mathbb {N} }$
		«принадлежит», «из» «не принадлежит»
		Теория множеств
${\displaystyle \subseteq }$ (\subseteq) ${\displaystyle \subset }$ (\subset)	⊆ ⊂	Подмножество	${\displaystyle A\subseteq B}$ означает «каждый элемент из ${\displaystyle A}$ также является элементом из ${\displaystyle B}$ ». ${\displaystyle A\subset B}$ обычно означает то же, что и ${\displaystyle A\subseteq B}$ . Однако некоторые авторы используют ${\displaystyle \subset }$ , чтобы показать строгое включение (то есть ${\displaystyle \subsetneq }$ ).	${\displaystyle (A\cap B)\subseteq A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} }$
		«является подмножеством», «включено в»
		Теория множеств
${\displaystyle \supseteq }$ (\supseteq) ${\displaystyle \supset }$ (\supset)	⊇ ⊃	Надмножество	${\displaystyle A\supseteq B}$ означает «каждый элемент из ${\displaystyle B}$ также является элементом из ${\displaystyle A}$ ». ${\displaystyle A\supset B}$ обычно означает то же, что и ${\displaystyle A\supseteq B}$ . Однако некоторые авторы используют ${\displaystyle \supset }$ , чтобы показать строгое включение (то есть ${\displaystyle \supsetneq }$ ).	${\displaystyle (A\cup B)\supseteq A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \supseteq \mathbb {Q} }$
		«является надмножеством», «включает в себя»
		Теория множеств
${\displaystyle \subsetneq }$ (\subsetneq)	⊊	Собственное подмножество	${\displaystyle A\subsetneq B}$ означает ${\displaystyle A\subseteq B}$ и ${\displaystyle A\neq B}$ .	${\displaystyle \mathbb {N} \subsetneq \mathbb {Q} }$
		«является собственным подмножеством», «строго включается в»
		Теория множеств
${\displaystyle \supsetneq }$ (\supsetneq)	⊋	Собственное надмножество	${\displaystyle A\supsetneq B}$ означает ${\displaystyle A\supseteq B}$ и ${\displaystyle A\neq B}$ .	${\displaystyle \mathbb {Q} \supsetneq \mathbb {N} }$
		«является собственным надмножеством», «строго включает в себя»
		Теория множеств
${\displaystyle \cup }$ (\cup)	∪	Объединение	${\displaystyle A\cup B}$ означает множество, содержащее все элементы из ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B}$
		«Объединение … и …», «…, объединённое с …»
		Теория множеств
${\displaystyle \cap }$ (\cap)	⋂	Пересечение	${\displaystyle A\cap B}$ означает множество одинаковых элементов, принадлежащих и ${\displaystyle A}$ , и ${\displaystyle B}$ .	${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \,|\,x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}}$
		"Пересечение … и … ", «…, пересечённое с …»
		Теория множеств
${\displaystyle \setminus }$ (\setminus)	\	Разность множеств	${\displaystyle A\setminus B}$ означает множество элементов, принадлежащих ${\displaystyle A}$ , но не принадлежащих ${\displaystyle B}$ .	${\displaystyle \{1,\;2,\;3,\;4\}\setminus \{3,\;4,\;5,\;6\}=\{1,\;2\}}$
		«разность … и …», «минус», «… без …»
		Теория множеств
${\displaystyle \to }$ (\to)	→	Функция (отображение)	${\displaystyle f\colon X\to Y}$ означает функцию ${\displaystyle f}$ с областью определения ${\displaystyle X}$ и областью значений ${\displaystyle Y}$ .	Функция ${\displaystyle f\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} \cup \{0\}}$ , определённая как ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{2}}$
		«из … в …»,
		везде
${\displaystyle \mapsto }$ (\mapsto)	↦	Отображение	${\displaystyle f\colon x\mapsto f\left(x\right)}$ означает, что образом ${\displaystyle x}$ после применения функции ${\displaystyle f}$ будет ${\displaystyle f\left(x\right)}$ .	Функцию, определённую как ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{2}}$ , можно записать так: ${\displaystyle f\colon x\mapsto x^{2}}$
		«отображается в»
		везде
${\displaystyle \mathbb {N} }$ (\mathbb N)	N или ℕ	Натуральные числа	${\displaystyle \mathbb {N} }$ означает множество ${\displaystyle \{1,\;2,\;3,\;\ldots \}}$ или реже ${\displaystyle \{0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots \}}$ (в зависимости от ситуации).	${\displaystyle \{\left|a\right|\,|\,a\in \mathbb {Z} \}=\mathbb {N} }$
		«Эн»
		Числа
${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (\mathbb Z)	Z или ℤ	Целые числа	${\displaystyle \mathbb {Z} }$ означает множество ${\displaystyle \{\ldots ,\;-3,\;-2,\;-1,\;0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots \}}$	${\displaystyle \{a,\;-a\,|\,a\in \mathbb {N} \}\cup \{0\}=\mathbb {Z} }$
		«Зед»
		Числа
${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (\mathbb Q)	Q или ℚ	Рациональные числа	${\displaystyle \mathbb {Q} }$ означает ${\displaystyle \left\{\left.{p \over q}\right|p\in \mathbb {Z} \wedge q\in \mathbb {N} \wedge q\neq 0\right\}}$	${\displaystyle 3,\!14\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \pi \notin \mathbb {Q} }$
		«Ку» или «Къю»
		Числа
${\displaystyle \mathbb {R} }$ (\mathbb R)	R или ℝ	Вещественные (действительные) числа	${\displaystyle \mathbb {R} }$ означает множество всех пределов последовательностей из ${\displaystyle \mathbb {Q} }$	${\displaystyle \pi \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle i\notin \mathbb {R} }$ (${\displaystyle i}$  — мнимая единица: ${\displaystyle i^{2}=-1}$ )
		«Эр»
		Числа
${\displaystyle \mathbb {C} }$ (\mathbb C)	C или ℂ	Комплексные числа	${\displaystyle \mathbb {C} }$ означает множество ${\displaystyle \{a+b\cdot i\,|\,a\in \mathbb {R} \wedge b\in \mathbb {R} \}}$	${\displaystyle i\in \mathbb {C} }$
		«Це»
		Числа
${\displaystyle \mathbb {H} }$ (\mathbb H)	H или ${\displaystyle \mathbb {H} }$	Кватернионы	${\displaystyle \mathbb {H} }$ означает множество ${\displaystyle \{a+b\cdot i\,+c\cdot j\,+d\cdot k\,|\,a\in \mathbb {R} \wedge b\in \mathbb {R} \wedge c\in \mathbb {R} \wedge d\in \mathbb {R} \}}$	${\displaystyle i\in \mathbb {H} }$
		«Аш»
		Числа
${\displaystyle <}$ ${\displaystyle >}$	< >	Сравнение	${\displaystyle x<y}$ обозначает, что ${\displaystyle x}$ строго меньше ${\displaystyle y}$ . ${\displaystyle x>y}$ означает, что ${\displaystyle x}$ строго больше ${\displaystyle y}$ .	${\displaystyle x<y\Leftrightarrow y>x}$
		«меньше чем», «больше чем»
		Отношение порядка
${\displaystyle \leqslant }$   или  ${\displaystyle \leq }$ (\leqslant или \leq) ${\displaystyle \geqslant }$   или  ${\displaystyle \geq }$ (\geqslant или \geq)	⩽ или ≤ ⩾ или ≥	Сравнение	${\displaystyle x\leqslant y}$ означает, что ${\displaystyle x}$ меньше или равен ${\displaystyle y}$ . ${\displaystyle x\geqslant y}$ означает, что ${\displaystyle x}$ больше или равен ${\displaystyle y}$ .	${\displaystyle x\geqslant 1\Rightarrow x^{2}\geqslant x}$
		«меньше или равно»; «больше или равно»
		Отношение порядка
${\displaystyle \approx }$ (\approx)	≈	Приблизительное равенство	${\displaystyle e\approx 2,\!718}$ с точностью до 10−3 означает, что 2,718 отличается от ${\displaystyle e}$ не больше чем на 10−3.	${\displaystyle \pi \approx 3,\!1415926}$ с точностью до 10−7.
		«приблизительно равно»
		Числа
${\displaystyle \propto }$ (\propto)	∝	Пропорциональность	${\displaystyle a\propto b}$ означает, что есть такое число k, что ${\displaystyle a=kb}$	${\displaystyle U(\theta )\propto e^{-[{\frac {\pi \sigma \sin \theta }{\lambda }}]^{2}}}$
		«пропорционально»
		везде
${\displaystyle {\sqrt {}}}$ (\sqrt{})	√	Арифметический квадратный корень	${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ означает неотрицательное действительное число, которое в квадрате даёт ${\displaystyle x}$ .	${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$ ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|}$
		«Корень квадратный из …»
		Числа
${\displaystyle \infty }$ (\infty)	∞	Бесконечность	${\displaystyle +\infty }$ и ${\displaystyle -\infty }$ суть элементы расширенного множества действительных чисел. Эти символы обозначают числа, большие/меньшие всех действительных чисел.	${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}{1 \over \left|x\right|}=\infty }$
		«Плюс/минус бесконечность»
		Числа
${\displaystyle \left|\;\right|}$ (\left| \right|)	| |	Абсолютная величина (абсолютное значение) числа или длина (модуль) вектора. В контексте теории множеств может иметь другой смысл — мощность множества	${\displaystyle \left|x\right|}$ обозначает абсолютную величину ${\displaystyle x}$ . ${\displaystyle |A|}$ обозначает мощность множества ${\displaystyle A}$ и равняется, если ${\displaystyle A}$ конечно, числу элементов ${\displaystyle A}$ .	${\displaystyle \left|a+b\ i\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$
		«Модуль»; «мощность»
		Числа и Теория множеств
${\displaystyle \sum }$ (\sum)	∑	Сумма (набора чисел), сумма ряда	${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ означает «сумма ${\displaystyle a_{k}}$ , где ${\displaystyle k}$ принимает значения от 1 до ${\displaystyle n}$ », то есть ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}$ . ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ означает сумму ряда, состоящего из ${\displaystyle a_{k}}$ .	${\displaystyle \sum _{k=1}^{4}k^{2}=}$ ${\displaystyle =1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}}$ ${\displaystyle =30}$
		«Сумма … по … от … до …»
		Арифметика, Математический анализ
${\displaystyle \prod }$ (\prod)	∏	Произведение	${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{k}}$ означает «произведение ${\displaystyle a_{k}}$ для всех ${\displaystyle k}$ от 1 до ${\displaystyle n}$ », то есть ${\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}}$	${\displaystyle \prod _{k=1}^{4}(k+2)=}$ ${\displaystyle =3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=360}$
		«Произведение … по … от … до …»
		Арифметика
${\displaystyle !}$	!	Факториал	${\displaystyle n!}$ означает произведение всех натуральных чисел от 1 до ${\displaystyle n}$ включительно, то есть ${\displaystyle 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n}$	${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k=(n-1)!n}$ ${\displaystyle 0!=1}$ ${\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120}$
		«${\displaystyle n}$ факториал»
		Комбинаторика
${\displaystyle \int dx}$ (\int dx)	∫	Интеграл	${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\,dx}$ означает «интеграл от ${\displaystyle a}$ до ${\displaystyle b}$ функции ${\displaystyle f}$ от ${\displaystyle x}$ по переменной ${\displaystyle x}$ ».	${\displaystyle \int \limits _{0}^{b}x^{2}\,dx={\frac {b^{3}}{3}}}$ ${\displaystyle \int x^{2}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}+C}$
		«Интеграл (от … до …) функции … по (или d)…»
		Математический анализ
${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {df}{dx}}\\&f'\left(x\right)\,\\\end{aligned}}}$	df/dx f'(x)	Производная	${\displaystyle {\frac {df}{dx}}}$ или ${\displaystyle f'\left(x\right)}$ означает «(первая) производная функции ${\displaystyle f}$ от ${\displaystyle x}$ по переменной ${\displaystyle x}$ ».	${\displaystyle {\frac {d\cos x}{dx}}=-\sin x}$
		«Производная … по …»
		Математический анализ
${\displaystyle {\frac {\partial f\left(x,y,z,\ldots \right)}{\partial y}}}$ (\partial для ∂)	∂f/∂y	Частная производная	${\displaystyle {\frac {\partial f\left(x,y,z,\ldots \right)}{\partial y}}}$ означает «(первая) частная производная функции ${\displaystyle f}$ от переменных ${\displaystyle x,y,z,\ldots }$ по переменной ${\displaystyle y}$ ».	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial y}}\left(x^{2}\cos xy\right)=\\&=\left.{\frac {d}{dy}}\left(x^{2}\cos xy\right)\right|_{x\,=\,\mathrm {const} }\\&=-x^{3}\sin xy\\\end{aligned}}}$
		«Частная производная … по …»
		Математический анализ
${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}\\&f^{\left(n\right)}\left(x\right)\,\\\end{aligned}}}$	dnf/dxn f(n)(x)	Производная ${\displaystyle n}$ -го порядка	${\displaystyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}}$ или ${\displaystyle f^{\left(n\right)}\left(x\right)}$ означает «${\displaystyle n}$ -я производная функции ${\displaystyle f}$ по переменной ${\displaystyle x}$ » (при втором способе записи, если ${\displaystyle n}$  — фиксированное число, то оно пишется либо арабскими цифрами в круглых скобках, либо римскими цифрами без скобок)	${\displaystyle \cos ^{IV}x={\frac {d^{4}\cos x}{dx^{4}}}=\cos x}$ .
		«${\displaystyle n}$ -я производная … по …»
		Математический анализ

См. также

• Таблица обозначений абстрактной алгебры
• История математических обозначений
• Список математических аббревиатур
• Список обозначений в физике

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. Изд. АСТ, 2003, ISBN 5-17-009554-6.

Ссылки

• Арифметические знаки // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.