WikiSort.ru - Не сортированное

Неопределённый интеграл

Пусть дана ${\displaystyle f(x)}$  — функция действительной переменной. Неопределённым интегралом функции ${\displaystyle f(x)}$ , или её первообразной, называется такая функция ${\displaystyle F(x)}$ , производная которой равна ${\displaystyle f(x)}$ , то есть ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ . Обозначается это так:

${\displaystyle F(x)=\int f(x)dx}$

В этой записи ${\displaystyle \int }$  — знак интеграла, ${\displaystyle f(x)}$ называется подынтегральной функцией, а ${\displaystyle dx}$  — элементом интегрирования.

Первообразная существует не для любой функции. Легко показать, что по крайней мере все непрерывные функции имеют первообразную. Поскольку производные двух функций, отличающихся на константу, совпадают, в выражение для неопределённого интеграла включают произвольную постоянную ${\displaystyle C}$ , например

${\displaystyle \int x^{2}dx={\frac {x^{3}}{3}}+C,\qquad \int \cos(x)dx=\sin(x)+C}$

Операция нахождения интеграла называется интегрированием. Операции интегрирования и дифференцирования обратны друг другу в следующем смысле:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int f(x)dx=f(x),\qquad \int {\frac {df(x)}{dx}}dx=f(x)+C}$

Определённый интеграл

Понятие определённого интеграла возникает в связи с задачей о нахождении площади криволинейной трапеции, нахождении пути по известной скорости при неравномерном движении и т. п.

Рассмотрим фигуру, ограниченную осью абсцисс, прямыми ${\displaystyle x=a}$ и ${\displaystyle x=b}$ и графиком функции ${\displaystyle y=f(x)}$ , называемую криволинейной трапецией (см. рисунок). Если по оси абсцисс отложено время, а по оси ординат — скорость тела, то площадь криволинейной трапеции есть пройденный телом путь.

Для вычисления площади этой фигуры естественно применить следующий приём. Разобьём отрезок ${\displaystyle [a;b]}$ на меньшие отрезки точками ${\displaystyle x_{i}}$ , такими что ${\displaystyle a=x_{0}<...<x_{i}<x_{i+1}<...<x_{n}=b}$ , а саму трапецию — на ряд узких полосок, лежащих над отрезками ${\displaystyle [x_{i};x_{i+1}]}$ . Возьмём в каждом отрезке по произвольной точке ${\displaystyle \xi _{i}\in [x_{i};x_{i+1}]}$ . Ввиду того, что длина ${\displaystyle i}$ -го отрезка ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}}$ мала, будем считать значение функции ${\displaystyle f(x)}$ на нём примерно постоянным и равным ${\displaystyle y_{i}=f(\xi _{i})}$ . Площадь криволинейной трапеции будет приблизительно равна площади ступенчатой фигуры, изображённой на рисунке:

${\displaystyle S\approx \sum _{i=0}^{n-1}y_{i}\Delta x_{i}\qquad (*)}$

Если же теперь увеличивать число точек разбиения, так, чтобы длины всех отрезков неограниченно убывали (${\displaystyle \max \Delta x_{i}\to 0}$ ), площадь ступенчатой фигуры будет всё ближе к площади криволинейной трапеции.

Поэтому мы приходим к такому определению:

Если существует, независимо от выбора точек разбиения отрезка и точек ${\displaystyle \xi _{i}}$ , предел суммы (*) при стремлении длин всех отрезков к нулю, то такой предел называется определённым интегралом (в смысле Римана) от функции ${\displaystyle f(x)}$ по отрезку ${\displaystyle [a;b]}$ и обозначается

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx}$

Сама функция при этом называется интегрируемой (в смысле Римана) на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$ . Суммы вида (*) называются интегральными суммами.

Примеры интегрируемых функций:

• непрерывные функции
• функции, имеющие лишь конечное число разрывов первого рода
• монотонные функции.

Пример неинтегрируемой функции: функция Дирихле (1 при ${\displaystyle x}$ рациональном, 0 при иррациональном). Поскольку множество рациональных чисел всюду плотно в ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ , выбором точек ${\displaystyle \xi _{i}}$ можно получить любое значение интегральных сумм от 0 до ${\displaystyle b-a}$ .

Между определённым и неопределённым интегралом имеется простая связь. А именно, если

${\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}$

то

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}$

Это равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.

Двойные и кратные интегралы

Понятие двойного интеграла возникает при вычислении объёма цилиндрического бруса, подобно тому, как определённый интеграл связан с вычислением площади криволинейной трапеции. Рассмотрим некоторую двумерную фигуру ${\displaystyle D}$ на плоскости ${\displaystyle XY}$ и заданную на ней функцию двух переменных ${\displaystyle f(x,y)}$ . Понимая эту функцию как высоту в данной точке, поставим вопрос о нахождении объёма получившегося тела (см. рисунок). По аналогии с одномерным случаем, разобьём фигуру ${\displaystyle D}$ на достаточно малые области ${\displaystyle d_{i}}$ , возьмём в каждой по точке ${\displaystyle \xi _{i}=(x_{i},y_{i})}$ и составим интегральную сумму

${\displaystyle \sum _{i}f(x_{i},y_{i})S(d_{i})}$

где ${\displaystyle S(d_{i})}$  — площадь области ${\displaystyle d_{i}}$ . Если существует, независимо от выбора разбиения и точек ${\displaystyle \xi _{i}}$ , предел этой суммы при стремлении диаметров областей к нулю, то такой предел называется двойным интегралом (в смысле Римана) от функции ${\displaystyle f(x,y)}$ по области ${\displaystyle D}$ и обозначается

${\displaystyle \int \limits _{D}f(x,y)dS}$ , ${\displaystyle \int \limits _{D}f(x,y)dxdy}$ , или ${\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)dxdy}$

Объём цилиндрического бруса равен этому интегралу.

Криволинейный интеграл

Поверхностный интеграл

Интеграл Лебега

В основе определения интеграла Лебега лежит понятие ${\displaystyle \sigma }$ -аддитивной меры. Мера является естественным обобщением понятий длины, площади и объёма.

Интеграл Лебега функции ${\displaystyle f}$ определённой на пространстве ${\displaystyle X}$ по мере ${\displaystyle \mu }$ обозначают

${\displaystyle \int \limits _{X}f\mu }$ , ${\displaystyle \int \limits _{x\in X}f(x)\mu }$ или ${\displaystyle \int \limits _{X}f(x)\mu (dx)}$

последнее два обозначения употребляют если необходимо подчеркнуть что интегрирование ведётся по переменной ${\displaystyle x}$ . Однако часто пользуются следующим не вполне правильным обозначением

${\displaystyle \int \limits _{X}fd\mu .}$

Полагая меру отрезка (прямоугольника, параллелепипеда) равной его длине (площади, объёму), а меру конечного либо счётного объединения непересекающихся отрезков (прямоугольников, параллелепипедов), соответственно, сумме их мер, и продолжая эту меру на более широкий класс измеримых множеств, получим т. наз. Лебегову меру на прямой (в ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{2}}$ , в ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3})}$ .

Естественно, в этих пространствах возможно ввести и другие меры, отличные от Лебеговой. Меру можно ввести также на любом абстрактном множестве. В отличие от интеграла Римана, определение интеграла Лебега остаётся одинаковым для всех случаев. Идея его состоит в том, что при построении интегральной суммы значения аргумента группируются не по близости к друг другу (как в определении по Риману), а по близости соответствующих им значений функции.

Пусть есть некоторое множество ${\displaystyle X}$ , на котором задана ${\displaystyle \sigma }$ -аддитивная мера ${\displaystyle \mu }$ , и функция ${\displaystyle f:X\to {\mathbb {R} }}$ . При построении интеграла Лебега рассматриваются только измеримые функции, то есть такие, для которых множества

${\displaystyle E_{a}=\{x\in X:f(x)<a\}}$

измеримы для любого ${\displaystyle a\in {\mathbb {R} }}$ (это эквивалентно измеримости прообраза любого борелевского множества).

Сначала интеграл определяется для ступенчатых функций, то есть таких, которые принимают конечное или счётное число значений ${\displaystyle a_{i}}$ :

${\displaystyle \int \limits _{X}f\mu =\sum _{i}a_{i}\mu (f^{-1}(a_{i}))}$

где ${\displaystyle f^{-1}(a_{i})}$  — полный прообраз точки ${\displaystyle a_{i}}$ ; эти множества измеримы в силу измеримости функции. Если этот ряд абсолютно сходится, ступенчатую функцию ${\displaystyle f}$ назовём интегрируемой в смысле Лебега. Далее, назовём произвольную функцию ${\displaystyle f}$ интегрируемой в смысле Лебега, если существует последовательность интегрируемых ступенчатых функций ${\displaystyle f_{n}}$ , равномерно сходящаяся к ${\displaystyle f}$ . При этом последовательность их интегралов также сходится; её предел и будем называть интегралом Лебега от функции ${\displaystyle f}$ по мере ${\displaystyle \mu }$ :

${\displaystyle \int \limits _{X}f\mu =\lim \int \limits _{X}f_{n}\mu }$

Если рассматривать функции на ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ и интеграл по мере Лебега, то все функции, интегрируемые в смысле Римана, будут интегрируемы и в смысле Лебега. Обратное же неверно (например, функция Дирихле не интегрируема по Риману, но интегрируема по Лебегу, так как равна нулю почти всюду). Фактически, любая ограниченная измеримая функция интегрируема по Лебегу.