WikiSort.ru - Не сортированное

В тензорном анализе, в частности в его приложениях к общей теории относительности и дифференциальной геометрии, при записи выражений из многокомпонентных величин, пронумерованных верхними и нижними индексами (тензоров), для экономии записи бывает удобно использовать правило, называемое соглашением Эйнштейна (также известно как «правило суммирования Эйнштейна»): если одна и та же буква в обозначении индекса встречается и сверху, и снизу, то такой член полагается просуммированным по всем значениям, которые может принимать этот индекс. Например, в выражении

${\displaystyle v_{k}=a_{i}b_{k}^{i}}$

буква ${\displaystyle i}$ встречается и сверху, и снизу, поэтому это выражение считается эквивалентным сумме

${\displaystyle v_{k}=\sum _{i}{a_{i}b_{k}^{i}}.}$

Точнее

${\displaystyle v_{k}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{k}^{i},}$

где ${\displaystyle n}$  — размерность пространства, на котором определены ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ (здесь предполагается, что нумерация координат начинается с единицы).

В случае использования выражений в виде дробей, таких как частные производные, верхние индексы, записываемые в знаменателе, считаются для применения правила как бы нижними и наоборот, например выражение

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx_{i},}$

записывается в виде

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx_{i}}$

Замечание

В некоторых случаях^[1] (если метрический тензор полагается всегда равным ${\displaystyle \delta _{ik}}$ ) верхние и нижние индексы в формулах не различают. В таком случае суммирование ведётся по любой паре повторяющихся индексов, встречающихся в одном и том же произведении тензоров. Например, в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle D_{\alpha \beta }n_{\alpha }=\sum _{\alpha =1}^{3}D_{\alpha \beta }n_{\alpha }}$

Используя стандартное соглашение Эйнштейна, следовало бы писать ${\displaystyle D_{\beta }^{\alpha }n_{\alpha }}$ .

Примечания