Ряд Фурье́ — представление функции с периодом в виде ряда
Этот ряд может быть также записан в виде
где
В более общем виде, рядом Фурье элемента некоторого пространства функций называется разложение этого элемента по полной системе ортонормированных функций или другими словами по базису, состоящему из ортогональных функций. В зависимости от используемого вида интегрирования говорят о рядах Фурье — Римана, Фурье — Лебега и т. п.[1]
Существует множество систем ортогональных многочленов и других ортогональных функций (например, функции Хаара, Уолша и Котельникова), по которым может быть произведено разложение функции в ряд Фурье.
Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.
Существуют многочисленные обобщения рядов Фурье в различных разделах математики. Например, любую функцию на конечной группе можно разложить в ряд, аналогичный ряду Фурье, по матричным элементам неприводимых представлений этой группы (теорема полноты).
Тригонометрическим рядом Фурье функции (то есть функции, суммируемой на промежутке , или ее периодического продолжения на вещественную прямую) называют функциональный ряд вида
где
Числа , и ( ) называются коэффициентами Фурье функции . Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, что мы хотим представить функцию в виде ряда (1) и нам надо определить неизвестные коэффициенты , и . Если умножить правую часть (1) на и проинтегрировать по промежутку , то все слагаемые в правой части, благодаря ортогональности синусов и косинусов на этом промежутке, обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент . Аналогично для .
Ряд (1) для функции из пространства сходится в этом пространстве. Иными словами, если обозначить через частичные суммы ряда (1):
то их среднеквадратичное отклонение от функции будет стремиться к нулю:
Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно.
Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство комплекснозначных функций со скалярным произведением
Мы также рассматриваем систему функций
Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция может быть разложена по ним в ряд Фурье:
где ряд в правой части сходится к по норме в . Здесь
Коэффициенты связаны с классическими коэффициентами Фурье следующими соотношениями:
Для вещественнозначной функции коэффициенты и комплексно сопряжены.
Описанную выше конструкцию можно обобщить со случая пространства с тригонометрической системой на произвольное гильбертово пространство. Пусть даны ортогональная система в гильбертовом пространстве и — произвольный элемент из . Предположим, что мы хотим представить в виде (бесконечной) линейной комбинации элементов :
Домножим это выражение на . С учётом ортогональности системы функций все слагаемые ряда обращаются в ноль, кроме слагаемого при :
Числа
называются координатами, или коэффициентами Фурье элемента по системе , а ряд
называется рядом Фурье элемента по ортогональной системе .
Ряд Фурье любого элемента по любой ортогональной системе сходится в пространстве , но его сумма не обязательно равна . Для ортонормированной системы в сепарабельном гильбертовом пространстве следующие условия эквивалентны:
Если эти условия не выполняются, то сумма ряда Фурье элемента равна его ортогональной проекции на замыкание линейной оболочки элементов . В этом случае вместо равенства Парсеваля справедливо неравенство Бесселя:
Тригонометрические функции , образуют базис гильбертова пространства . Если мы рассмотрим только косинусы или только синусы, то такая система больше не будет полной. Замыкание линейной оболочки функций - это все четные функции из , а замыкание линейной оболочки функций - все нечетные функции. Результатом разложения функции в ряды Фурье по этим системам будут соответственно четная и нечетная части функции :
Еще более интересная ситуация возникает при рассмотрении системы . Эта система вновь не будет полной. Замыкание её линейной оболочки — пространство Харди . Элементы этого пространства -- те и только те функции , которые имеют вид , где — граничные значения некоторой функции, аналитической в круге
При обобщении теории рядов Фурье на случай гильбертовых пространств теряются свойства, выражающие связь рядов Фурье со сверткой — то, что коэффициенты Фурье свертки функций являются почленными произведениями их коэффициентов Фурье, и наоборот, коэффициенты Фурье произведения представляются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей. Эти свойства являются ключевыми для приложений теории Фурье к решению дифференциальных, интегральных и других функциональных уравнений. Поэтому большой интерес представляют такие обобщения теории рядов Фурье, при которых эти свойства сохраняются. Таким обобщением является теория двойственности Понтрягина. Она рассматривает функции, заданные на локально-компактных абелевых группах. Аналогом ряда Фурье такой функции будет функция, заданная на двойственной группе.
Обозначим через частичные суммы ряда Фурье функции :
Далее обсуждается сходимость последовательности функций к функции в различных смыслах. Функция предполагается -периодической (если она задана только на промежутке , её можно периодически продолжить).
Существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса , а экспоненциальное — аналитическим функциям. Примеры такого рода связи:
Представление периодических сигналов. Ряд Фурье .
Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье .
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .