Фигу́рные чи́сла — общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам. Предположительно, с понятием фигурного числа связано выражение «возвести число в квадрат или в куб».
Со времён пифагорейцев традиционно различают следующие виды фигурных чисел (они определены, например, в VII книге «Начал» Евклида)[1]:
Общее определение[2]:
-е по порядку -угольное число есть сумма членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть 1, а разность равна . |
Например, треугольные числа получаются как частичные суммы ряда , а четырёхугольным (квадратным) числам соответствует ряд .
Последовательность k-угольных чисел имеет вид[3]:
Другие варианты общего формата представления n-го по порядку -угольного числа:
При увеличении числа сторон на единицу соответствующие фигурные числа изменяются согласно формуле Никомаха[4]:
Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. Поэтому их изучением занимались многие математики античности: Эратосфен, Гипсикл, Диофант Александрийский и другие. Гипсикл (II век до н. э.) дал общее определение m-угольного числа как суммы n членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть 1, а разность равна . Диофант написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней. О фигурных числах много говорится в пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским (II век), которые установили ряд зависимостей между фигурными числами разных размерностей. Большой интерес к фигурным числам проявили индийские математики и первые математики средневековой Европы (Фибоначчи, Пачоли, Кардано и др.)[5].
В Новое время многоугольными числами занимались Ферма, Валлис, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие. Ферма сформулировал в 1637 году так называемую «золотую теорему»[5]:
Этой теоремой занимались многие выдающиеся математики, полное доказательство сумел дать Коши в 1813 году[6].
![]() |
![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Последовательность треугольных чисел:
Свойства:
Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами:
Свойства.
Очевидно, последовательность шестиугольных чисел получается из последовательности треугольных чисел вычёркиванием элементов с чётными номерами:
Двенадцатиугольные числа вычисляются по формуле :
В десятичной системе -ое двенадцитиугольное число заканчивается на ту же цифру, что и само число .
Центрированные полигональные числа — это класс фигурных чисел, каждое сформировано вокруг центральной точки, окружённой слоями многоугольников с постоянным числом сторон. Каждый слой содержит на одну точку больше чем предыдущий., так что начиная со второго слоя каждый слой -угольного числа содержит на больше точек, чем предыдущий. Каждая последовательность может быть представлена как треугольное число, умноженное на константу плюс 1. Так, например, центрированные квадратные числа — это учетверённые треугольные числа плюс 1.
Центрированное треугольное число — это центрированное полигональное число, которое представляет треугольник с точкой в центре и все остальные окружающие точки находятся на треугольных слоях. Центрированное треугольное число задается формулой . Первые несколько центрированных треугольных чисел:
Каждое центрированное треугольное число, начиная с 10, является суммой трех последовательных треугольных чисел. Также, каждое центрированное треугольное число при делении на 3 дает остаток 1 и частное (если оно положительно), есть предыдущее треугольное число. Сумма первых центрированных треугольных чисел есть магическая константа для магического квадрата .
Центрированное треугольное простое — это центрированное треугольное число, являющееся простым. Несколько первых центрированных треугольных простых:
Центрированное квадратное число — это центрированное полигональное число, которое представляет квадрат с точкой в центре и все остальные окружающие точки находятся на квадратных слоях. Первые несколько центрированных квадратных чисел:
Формулу можно представить следующим образом
таким образом, n-ое центрированное квадратное число равно половине -го нечетного квадрата + 1/2. Как и другие центрированные полигональные числа, центрированные квадратные числа могут быть выражены в треугольных числах:
где
есть -ое треугольное число. Центрированное квадратное число — это сумма двух последовательных квадратов. Все центрированные квадратные числа нечетны, и последняя цифра в десятичном представлении дает последовательность 1-5-3-5-1.Все центрированные квадратные числа и их делители дают остаток 1 при делении на 4. Отсюда все центрированные квадратные числа и их делители сравнимы с 1 или 5 по модулю 6,8 или 12. Все центрированные квадратные числа за исключением 1 есть гипотенуза в одном из пифагоровой тройке (например, 3-4-5, 5-12-13). Таким образом, каждое центрированное квадратное число равно числу точек внутри данного расстояния в кварталах от центральной точки на квадратной решетке. Разность между двумя последовательными восьмиугольными числами есть центрированное квадратное число.
Центрированные квадратные простые — это центрированные квадратные числа, являющиеся также простыми. В отличие от обычных квадратных чисел, которые никогда не являются простыми, несколько центрированных квадратных чисел просты. Несколько первых центрированных квадратных простых:
Центрированное пятиугольное число — это центрированное фигурное число, которое представляет пятиугольник, который содержит точку в центре и все точки, окружающие центр лежат в пятиугольных слоях. Центрированное пятиугольное число задается формулой . Несколько первых центрированных пятиугольных чисел:
Четность центрированных пятиугольных чисел подчиняется правилу четное-четное-нечетное -нечетное, и последняя десятичная цифра подчиняется правилу 6-6-1-1.
Центрированные шестиугольные числа — это центрированные фигурные числа, которые представляют шестиугольник с точкой в центре и все остальные окружающие точки находятся в шестиугольной решётке. Центрированное шестиугольное число задается формулой . Несколько первых центрированных шестиугольных чисел:
Можно заметить, что по основанию 10 последний знак центрированных шестиугольных чисел имеют последовательность 1-7-9-7-1. Сумма первых n центрированных шестиугольных чисел равна . Таким образом, центрированные шестиугольные пирамидальные числа и кубы являются те ми числами, но представляют различные (геометрические) формы. С другой стороны, центрированные шестиугольные числа — это разность двух соседних кубов, так что центрированные шестиугольные числа — это фигурное представление кубов. Также, простые центрированные шестиугольные числа есть кубические простые числа. Также .
Центрированное семиугольное число — это центрированное фигурное число, которое представляет семиугольник с точкой в середине и все окружающие точки лежат на семиугольных слоях. Центрированное семиугольное число задается формулой . Его можно также вычислить умножением треугольного числа на 7, затем добавив 1. Несколько первых центрированных семиугольных чисел:
Четность центрированных семиугольных чисел меняется по правилу нечетный-четный-четный-нечетный.
Центрированные семиугольные простые — это центрированные семиугольные числа, являющиеся простыми. Несколько первых центрированных семиугольных простых:
и центрированных семиугольных простых простых-близнецов:
Центрированное восьмиугольное число — это центрированное фигурное число, которое представляет восьмиугольник с точкой в середине и все окружающие точки лежат на восьмиугольных слоях. Центрированное восьмиугольное число задается формулой . Несколько первых центрированных восьмиугольных чисел:
Все центрированные восьмиугольные числа нечетны, и по модулю 10 имеют последовательность остатков 1-9-5-9-1. Нечетное число является центрированным восьмиугольным числом тогда и только тогда, когда оно является квадратом целого числа.
Центрированное девятиугольное число — это центрированное фигурное число, которое представляет девятиугольник с точкой в середине и все окружающие точки лежат на девятиугольных слоях. Умножая -ое треугольное число на 9 и добавляя 1 получим -ое центрированное девятиугольное число, но имеется и более простая связь с треугольными числами — каждое третье треугольное число (1-е, 4-е, 7-е, и т. д.) также центрированное девятиугольное число. Первые несколько центрированных девятиугольных чисел:
За исключением 6, все четные совершенные числа являются также центрированными девятиугольными числами. В 1850-м году, Поллок высказал предположение, что любое натуральное есть сумма максимум одиннадцати центрированных девятиугольных чисел, которое ни доказано ни опровергнуто.
Центрированное десятиугольное число — это центрированное фигурное число, которое представляет десятиугольник с точкой в середине и все окружающие точки лежат на десятиугольных слоях. Центрированное десятиугольное число задается формулой . Первые несколько центрированных десятиугольных чисел:
Подобно другим -угольным числам, -ое центрированное десятиугольное число можно вычислить, умножая -ое треугольное число на , в нашем случае 10, затем добавляя 1. Как следствие, центрированные десятиугольные числа могут быть получены просто добавлением 1 к десятичному представлению числа. Таким образом, все центрированные десятиугольные числа нечётны и всегда оканчиваются на 1 в десятичном представлении. Заметьте, что следующие совершенные числа встречаются в списке:
Центрированные десятиугольные простые — это центрированное десятиугольное число, которое является простым. Несколько первых центрированных десятиугольных простых:
Можно определить многомерные фигурные числа, частными случаями которых являются:
Тетраэдрические числа — это фигурные числа, которые представляют пирамиду, в основании которой лежит треугольник. Пример нескольких первых тетраэдрических чисел:
Формула для тетраэдрического числа:
Тетраэдрические числа находятся на 4-й позиции в треугольнике Паскаля. -ое тетраэдрическое число представляет собой сумму первых треугольных чисел. Только три тетраэдрических числа являются квадратными числами:
Пять чисел являются треугольными (последовательность A027568 в OEIS):
Можно заметить, что:
В математике пирамида́льное число́ или квадра́тное пирамида́льное число́ — фигурное число, представляющее собой количество сложенных сфер в пирамиде с квадратным основанием. Квадратные пирамидальные числа также выражают количество квадратов в сетке . Квадратные пирамидальные числа образуют последовательность:
Квадратные пирамидальные числа могут быть вычислены по формуле:
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .