WikiSort.ru - Не сортированное

Пример

Для нахождения формулы общего члена последовательности ${\displaystyle F_{n}}$ , удовлетворяющей линейному рекуррентному уравнению второго порядка ${\displaystyle F_{n}=b\cdot F_{n-1}+c\cdot F_{n-2}}$ с начальными значениями ${\displaystyle F_{1}}$ , ${\displaystyle F_{2}}$ , следует решить характеристическое уравнение

${\displaystyle q^{2}-bq-c=0}$ .

Если уравнение имеет два различных корня ${\displaystyle q_{1}}$ и ${\displaystyle q_{2}}$ , отличных от нуля, то для произвольных постоянных ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ , последовательность

${\displaystyle F_{n}=A\cdot q_{1}^{n}+B\cdot q_{2}^{n},}$

удовлетворяет рекурентному соотношению; остаётся найти числа ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ , что

${\displaystyle F_{1}=A\cdot q_{1}+B\cdot q_{2}}$ и ${\displaystyle F_{2}=A\cdot q_{1}^{2}+B\cdot q_{2}^{2}}$ .

Если же дискриминант характеристического уравнения равен нулю и значит уравнение имеет единственный корень ${\displaystyle q_{1}}$ , то для произвольных постоянных ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ , последовательность

${\displaystyle F_{n}=(A+B\cdot n)\cdot q_{1}^{n}}$

удовлетворяет рекурентному соотношению; остаётся найти числа ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ , что

${\displaystyle F_{1}=(A+B)\cdot q_{1}}$ и ${\displaystyle F_{2}=(A+B\cdot 2)\cdot q_{1}^{2}}$ .

В частности, для последовательности, определяемой следующим линейным рекуррентным уравнением второго порядка

${\displaystyle F_{n}=5\cdot F_{n-1}-6\cdot F_{n-2}}$ ; ${\displaystyle F_{1}=1}$ , ${\displaystyle F_{2}=-2}$ .

корнями характеристического уравнения ${\displaystyle q^{2}-5\cdot q+6=0}$ являются ${\displaystyle q_{1}=2}$ , ${\displaystyle q_{2}=3}$ . Поэтому

${\displaystyle F_{n}=-2\cdot (3^{n-1}-2^{n-1})-6\cdot (3^{n-2}-2^{n-2}).}$ .

Окончательно:

${\displaystyle F_{n}=5\cdot 2^{n-1}-4\cdot 3^{n-1}.}$