WikiSort.ru - Не сортированное

Липшицево отображение (названо в честь Рудольфа Липшица) — отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ между двумя метрическими пространствами, применение которого увеличивает расстояния не более, чем в некоторую константу раз. А именно, отображение ${\displaystyle f}$ метрического пространства ${\displaystyle (X,\;\rho _{X})}$ в метрическое пространство ${\displaystyle (Y,\;\rho _{Y})}$ называется липшицевым, если найдётся некоторая константа ${\displaystyle L}$ (константа Липшица этого отображения), такая, что

${\displaystyle \rho _{Y}(f(x),\;f(y))\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;y)}$

при любых ${\displaystyle x,\;y\in X}$ . Это условие называют условием Липшица.

Связанные определения

• Отображение, удовлетворяющее вышеприведённому условию, называется также ${\displaystyle L}$ -липшицевым.
  • 1-липшицево отображение называют также коротким отображением.
• Нижняя грань чисел ${\displaystyle L}$ , удовлетворяющих вышеприведённому неравенству, называется константой Липшица отображения ${\displaystyle f}$ .
• Отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ называется билипшицевым, если у него существует обратное ${\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}$ и оба ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle f^{-1}}$ являются липшицевыми.
• Отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ называется колипшицевым, если существует константа ${\displaystyle L}$ , такая, что для любых ${\displaystyle x\in X}$ и ${\displaystyle y\in Y}$ найдётся ${\displaystyle x'\in f^{-1}(y)}$ такое, что

  ${\displaystyle \rho _{Y}(f(x),\;y)\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;x').}$

Свойства

• Любое отображение Липшица равномерно непрерывно.
• Теорема Радемахера утверждает, что любая липшицева функция, определённая на открытом множестве в евклидовом пространстве, дифференцируема на нём почти всюду.
• Суперпозиция липшицевой и интегрируемой функции интегрируема.
• Непрерывно дифференцируемая функция на компакте удовлетворяет условию Липшица (лемма о липшицевости).

Вариации и обобщения

• Понятие липшицевой функции естественным образом обобщается на функции с ограниченным модулем непрерывности, так как условие Липшица записывается так:

${\displaystyle \omega (f,\;\delta )\leqslant L{\cdot }\delta .}$

История

Отображения со свойством

${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leqslant L{\cdot }|x-y|^{\alpha },\quad \alpha \leqslant 1}$

впервые рассматривалось Липшицем в 1864 году для вещественных функций в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье к своей функции. Впоследствии условием Липшица стало принято называть это условие только при ${\displaystyle \alpha =1}$ , а при ${\displaystyle \alpha <1}$  — условием Гёльдера.

См. также

• Показатель Гёльдера
• Лемма о липшицевости

Ссылки

• Условие Липшица и его геометрический смысл.

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 19 июня 2018 года.