WikiSort.ru - Не сортированное

Необходимое условие сходимости ряда (Необходимый признак сходимости ряда):

Доказательство

Пусть исходный ряд сходится (последовательность частичных сумм имеет конечный предел). По условию последовательности частичных сумм ${\displaystyle (s_{k})}$ и ${\displaystyle (s_{k+1})}$ имеют общий конечный предел ${\displaystyle s}$ , но ${\displaystyle |a_{k+1}|=|\,s_{k+1}-\,s_{k}|}$ и поэтому ${\displaystyle (|a_{k+1}|)\rightarrow 0}$ , что равносильно бесконечной малости ${\displaystyle (a_{k})}$ .

Замечание

Данный признак является только необходимым, но не достаточным, то есть из того, что ${\displaystyle (a_{k})\rightarrow 0}$ не следует, что ряд сходится.

Так, гармонический ряд ${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{n}}+...}$ расходится, хотя необходимое условие сходимости ряда для него выполняется.

Литература

• Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.
• §3. Необходимый признак сходимости ряда

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение). Добавить иллюстрации.