WikiSort.ru - Не сортированное

Компле́ксная амплитуда — комплексная величина, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе гармонического сигнала.

Определение

Пусть имеется гармонический сигнал:

${\displaystyle a(t)=A\cos \left(\omega t+\phi \right)}$

Над сигналами, записанными в подобной форме, алгебраически неудобно производить такие арифметические операции, как сложение двух сигналов, вычитание из одного сигнала другого сигнала, умножение сигнала на константу. С целью облегчения этих операций гармонические сигналы представляют в виде комплексного числа, модуль которого равен амплитуде сигнала, а аргумент — фазе сигнала. При этом оригинальный сигнал a(t) равен действительной части данного комплексного числа b(t):

${\displaystyle a(t)=\Re (b(t))}$ ,

где ${\displaystyle b(t)=Ae^{i(\omega t+\phi )}=Ae^{i\phi }e^{i\omega t}={\hat {A}}e^{i\omega t}}$

здесь комплексной амплитудой гармонического сигнала является следующее выражение:

${\displaystyle {\hat {A}}=Ae^{i\phi }}$

Физический смысл

Операции над комплексной амплитудой

К сигналам в пространстве комплексных амплитуд могут быть применены линейные операции. Другими словами, перечисленные ниже операции над комплексными амплитудами:

• умножение комплексной амплитуды на константу
• сложение комплексных амплитуд (соответствующих одной и той же частоте)
• вычитание комплексных амплитуд (соответствующих одной и той же частоте)
• интегрирование комплексной амплитуды по времени
• дифференцирование комплексной амплитуды по времени

приводят к такому же результату, как если бы они были проделаны над соответствующими гармоническими сигналами, а затем от них взята комплексная амплитуда.

Ограничения

Несмотря на то, что в выражение для комплексной амплитуды не входит частота ω гармонического сигнала, следует помнить, что комплексная амплитуда описывает гармонический сигнал конкретной частоты. Поэтому в пространстве комплексных амплитуд недопустимы операции, которые:

• принимают в качестве операндов комплексные амплитуды, описывающие гармонические сигналы разных частот.
• меняют частоту гармонического сигнала или порождают новые частоты (все нелинейные операции, например, перемножение двух сигналов).

Применение

Комплексная амплитуда является полным и очень удобным способом описания гармонических сигналов, поскольку:

• Характеризует и амплитуду, и фазу
• Не содержит зависимости от времени
• Позволяет использовать векторные диаграммы для анализа цепей на переменном токе

Использование комплексных амплитуд и импедансов позволяет свести задачу прохождения гармонического сигнала через линейную цепь (описывается системой дифференциальных уравнений) к более простой задаче, эквивалентной анализу цепи из резисторов на постоянном токе (описывается системой алгебраических уравнений).

См. также

• Метод комплексных амплитуд
• Формула Эйлера

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.