WikiSort.ru - Не сортированное

Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:

\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\,a_{n},\;a_{n}>0

Признак Лейбница

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Пусть дан знакочередующийся ряд

S=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}b_{n},\ b_{n}>0

,

для которого выполняются следующие условия:

$b_{n}\geq b_{n+1}$ , начиная с некоторого номера ( $n\geq N$ ),
$\lim _{n\to \infty }b_{n}=0.$

Тогда такой ряд сходится.

Замечания

Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Следует отметить, что монотонное убывание не является необходимым для сходимости знакочередующегося ряда, таким образом и сам признак является только достаточным, но не необходимым. Ряд Лейбница может сходится абсолютно (если сходится ряд $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ ), а может сходится условно (если ряд из модулей расходится).

Доказательство

Рассмотрим две последовательности частичных сумм ряда $R_{n}=b_{1}-b_{2}+\ldots -b_{2n}$ и $L_{n}=b_{1}-b_{2}+\ldots +b_{2n-1}$ .

Первая последовательность не возрастает: $R_{n}-R_{n+1}=b_{2n+1}-b_{2n+2}\geq 0$ по первому условию.

По тому же условию вторая последовательность не убывает: $L_{n}-L_{n+1}=b_{2n+1}-b_{2n}\leq 0$ .

Первая последовательность мажорирует вторую, то есть $R_{n}\geq L_{m}$ для любых $m,n\in \mathbb {N}$ . Действительно,

при

m\geq n

имеем:

R_{n}-L_{m}\geq R_{m}-L_{m}=b_{2m}>0,

при

m\leq n

имеем:

R_{n}-L_{m}\geq R_{n}-L_{n}=b_{2n}>0.

Следовательно они обе сходятся как монотонные ограниченные последовательности.

Осталось заметить, что $\lim _{m,n}|R_{n}-L_{m}|=0$ , поэтому они сходятся к общему пределу $S$ , который и является суммой исходного ряда.

Попутно мы показали, что для любой частичной суммы ряда $S_{n}$ имеет место оценка $|S-S_{n}|<b_{n+1}$ .

Пример

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {1}{n}}\;$ . Ряд из модулей имеет вид $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ — это гармонический ряд, который расходится.

Теперь воспользуемся признаком Лейбница:

знакочередование выполнено
${\frac {1}{n+1}}<{\frac {1}{n}},\;\forall \;n$
$\lim _{n\to \infty }\,{\frac {1}{n}}=0$ .

Следовательно, так как все условия выполнены, ряд сходится (причем условно, так как ряд из модулей расходится).

Оценка остатка ряда Лейбница

Из теоремы Лейбница вытекает следствие, позволяющее оценить погрешность вычисления неполной суммы ряда (остаток ряда):

S_{n}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}b_{i}.

Остаток сходящегося знакочередующегося ряда $R_{n}=S-S_{n}$ будет по модулю меньше первого отброшенного слагаемого:

\left|R_{n}\right|<b_{n+1}.

Доказательство ^[1]

Последовательность $S_{2k}$ монотонно возрастающая, так как $S_{2k}=\sum \limits _{i=2}^{i=n}{\left({b_{2i-1}-b_{2i}}\right)},$ а выражение $b_{2i-1}-b_{2i}$ неотрицательно при любом целом $i.$ Последовательность $S_{2k-1}$ монотонно убывает, так как $S_{2k+1}=S_{2k-1}-\left({b_{2k}-b_{2k+1}}\right),$ а выражение в скобках неотрицательно. Как уже доказано при доказательстве самой теоремы Лейбница, у обеих этих последовательностей — $S_{2k}$ и $S_{2k-1}$ — совпадающий предел при $k\to +\infty .$ Так получено $S_{2k}\leqslant s\leqslant S_{2k-1}$ и также $s\leqslant S_{2k+1}.$ Отсюда $0\leqslant s-S_{2k}\leqslant S_{2k+1}-S_{2k}=b_{2k+1}$ и $0\leqslant S_{2k-1}-s\leqslant S_{2k-1}-S_{2k}=b_{2k}.$ Итак, для любого $k$ выполняется $\left|{s-S_{k}}\right|\leqslant b_{k+1},$ что и требовалось доказать.

См. также

Признак Дирихле — обобщение признака Лейбница

Литература

Иванов Г. Е. Глава 9. Числовые ряды. §3. Ряды со знакопеременными членами // Лекции по математическому анализу. — М.: МФТИ, 2000. — Т. 1. — С. 299—303. — 359 с. — 800 экз. — ISBN 5-7417-0147-7.
Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 296.

Примечания

↑ Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов. — 10-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[Beklemishev_2005-1] Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов. — 10-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

Признаки сходимости рядов
Для всех рядов	Необходимое условие Критерий Коши	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Для знакоположительных рядов	Основной критерий Признак сравнения Признак Куммера Признак Гаусса Радикальный признак Коши Интегральный признак Признак Д’Аламбера Степенной признак Логарифмический признак Признак Раабе Признак Бертрана Признак Жамэ Признак Ермакова Признак Лобачевского Признак Реткеса (англ.) Телескопический признак
Для знакочередующихся рядов	Признак Лейбница
Для рядов вида $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Признак Абеля Признак Дедекинда Признак Дюбуа-Реймона Признак Дирихле
Для функциональных рядов	Признак Вейерштрасса
Для рядов Фурье	Признак Дини Признак Валле-Пуссена Признак Жордана Признак Юнга Признак Салема Признак Лебега Признак Лебега–Гергена Признак Марцинкевича