WikiSort.ru - Не сортированное

Ра́венство Парсева́ля — это аналог теоремы Пифагора в векторных пространствах со скалярным произведением. Названо по аналогии с теоремой для периодических функций, сформулированной Парсевалем в 1799 году.

Формулировка

Пусть дано гильбертово пространство ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ , где ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$  — скалярное произведение, определённое на множестве ${\displaystyle H}$ . Обозначим ${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$ индуцированную этим скалярным произведением норму. Тогда если ${\displaystyle \{e_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$  — ортонормированный базис в ${\displaystyle H}$ , то

${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{k=1}^{\infty }\left|\langle x,e_{k}\rangle \right|^{2}.}$

См. также

• Ряд Фурье
• Неравенство Бесселя

Литература

• Богачев В. И., Смолянов О. Г., Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. — 724 с.
• Садовничий В. А., Теория операторов. — 2-е изд. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. — 368 c.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.