WikiSort.ru - Не сортированное

Чи́сла Фибона́ччи (иногда пишут Фибона́чи^[1]) — элементы числовой последовательности

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, … (последовательность A000045 в OEIS),

в которой первые два числа равны либо 1 и 1, либо 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Названы в честь средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи)^[2].

Более формально, последовательность чисел Фибоначчи ${\displaystyle \left\{F_{n}\right\}}$ задаётся линейным рекуррентным соотношением:

${\displaystyle F_{0}=0,\qquad F_{1}=1,\qquad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},\quad n\geqslant 2,\quad n\in \mathbb {Z} .}$

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для отрицательных значений ${\displaystyle n}$ , как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению. При этом члены с отрицательными индексами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: ${\displaystyle F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}}$ :

n	…	−10	−9	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	…
${\displaystyle F_{n}}$	…	−55	34	−21	13	−8	5	−3	2	−1	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	…

Легко заметить, что ${\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}}$ .

Происхождение

Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении) намного раньше, чем стала известна в Европе.

Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n-1, либо L к образцу длиной n-2; и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования».

На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая, что: изначально есть новорождённая пара кроликов (самец и самка); со второго месяца после своего рождения кролики начинают спариваться и каждый месяц производить новую пару кроликов; кролики никогда не умирают. Сколько пар кроликов будет через год?

• В начале первого месяца есть только одна новорождённая пара (1).
• В конце первого месяца по-прежнему только одна пара кроликов, но уже спарившаяся (1)
• В конце второго месяца первая пара рождает новую пару и опять спаривается (2)
• В конце третьего месяца первая пара рождает ещё одну новую пару и спаривается, вторая пара только спаривается (3)
• В конце четвёртого месяца первая пара рождает ещё одну новую пару и спаривается, вторая пара рождает новую пару и спаривается, третья пара только спаривается (5)

В конце ${\displaystyle n}$ -го месяца количество пар кроликов будет равно количеству пар в предыдущем месяце плюс количество новорождённых пар, которых будет столько же, сколько пар было два месяца назад. Таким образом: ${\displaystyle F_{n}=F_{n-2}+F_{n-1}.}$

Формула Бине

Формула Бине выражает в явном виде значение ${\displaystyle F_{n}}$ как функцию от n:

${\displaystyle F_{n}={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\varphi -(-\varphi )^{-1}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}},}$

где ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$  — золотое сечение. При этом ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle (-\varphi )^{-1}=1-\varphi }$ являются корнями характеристического уравнения ${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$ .

Из формулы Бине следует, что для всех ${\displaystyle n\geqslant 0}$ , ${\displaystyle F_{n}}$ есть ближайшее к ${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}}$ целое число, то есть ${\displaystyle F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right\rceil }$ . В частности, при ${\displaystyle n\to \infty }$ справедлива асимптотика ${\displaystyle F_{n}\sim {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}}$ .

Формула Бине может быть аналитически продолжена следующим образом:

${\displaystyle F_{z}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\varphi ^{z}-{\frac {\cos {\pi z}}{\varphi ^{z}}}\right).}$

При этом соотношение ${\displaystyle F_{z+2}=F_{z+1}+F_{z}}$ выполняется для любого комплексного числа z.

Тождества

• ${\displaystyle F_{1}+F_{2}+F_{3}+\dots +F_{n}=F_{n+2}-1}$
• ${\displaystyle F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}}$
• ${\displaystyle F_{2}+F_{4}+F_{6}+\dots +F_{2n}=F_{2n+1}-1}$
• ${\displaystyle F_{n+1}F_{n+2}^{}-F_{n}F_{n+3}=(-1)^{n}}$
• ${\displaystyle F_{1}^{2}+F_{2}^{2}+F_{3}^{2}+\dots +F_{n}^{2}=F_{n}F_{n+1}}$ (см. рис.)
• ${\displaystyle F_{n}^{2}+F_{n+1}^{2}=F_{2n+1}}$
• ${\displaystyle F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}}$
• ${\displaystyle F_{3n}=F_{n+1}^{3}+F_{n}^{3}-F_{n-1}^{3}}$
• ${\displaystyle F_{5n}=25F_{n}^{5}+25(-1)^{n}F_{n}^{3}+5F_{n}}$
• ${\displaystyle F_{n+1}=C_{n}^{0}+C_{n-1}^{1}+C_{n-2}^{2}+...}$

И более общие формулы:

• ${\displaystyle F_{n+m}^{}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}=F_{n+1}F_{m+1}-F_{n-1}F_{m-1}}$
• ${\displaystyle F_{(k+1)n}^{}=F_{n-1}F_{kn}+F_{n}F_{kn+1}}$
• ${\displaystyle F_{n}^{}=F_{l}F_{n-l+1}+F_{l-1}F_{n-l}}$
• Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц: ${\displaystyle F_{n+1}=K_{n}(1,\dots ,1)}$ , то есть

${\displaystyle F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots &0\\-1&1&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&1\end{pmatrix}}}$ , а также ${\displaystyle \ F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&i&0&\cdots &0\\i&1&i&\ddots &\vdots \\0&i&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &i\\0&\cdots &0&i&1\end{pmatrix}}}$ ,

где матрицы имеют размер ${\displaystyle n\times n}$ , i — мнимая единица.

• Числа Фибоначчи можно выразить через многочлены Чебышёва:

${\displaystyle F_{n+1}=(-i)^{n}U_{n}\left({\frac {-i}{2}}\right),}$

${\displaystyle F_{2n+2}=U_{n}\left({\frac {3}{2}}\right).}$

• Для любого n,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}.}$

• Следствие. Подсчёт определителей даёт

${\displaystyle (-1)^{n}=F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}.}$

• ${\displaystyle F_{n+1}={\frac {F_{n}+{\sqrt {5F_{n}^{2}+4(-1)^{n}}}}{2}}}$

Свойства

• Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, то есть ${\displaystyle (F_{m},F_{n})=F_{(m,n)}}$ . Следствия:
  • ${\displaystyle F_{m}}$ делится на ${\displaystyle F_{n}}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle m}$ делится на ${\displaystyle n}$ (за исключением ${\displaystyle n=2}$ ). В частности, ${\displaystyle F_{m}}$ делится на ${\displaystyle F_{3}=2}$ (то есть является чётным) только для ${\displaystyle m=3k}$ ; ${\displaystyle F_{m}}$ делится на ${\displaystyle F_{4}=3}$ только для ${\displaystyle m=4k}$ ; ${\displaystyle F_{m}}$ делится на ${\displaystyle F_{5}=5}$ только для ${\displaystyle m=5k}$ и т. д.
  • ${\displaystyle F_{m}}$ может быть простым только для простых ${\displaystyle m}$ (с единственным исключением ${\displaystyle m=4}$ ). Например, число ${\displaystyle F_{13}=233}$ простое, и его индекс 13 также прост. Обратное не верно, наименьший контрпример — ${\displaystyle F_{19}=4181=37\cdot 113}$ . Неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми.
• Последовательность чисел Фибоначчи является частным случаем возвратной последовательности, её характеристический многочлен ${\displaystyle x^{2}-x-1}$ имеет корни ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle -{\frac {1}{\varphi }}}$ .
• Отношения ${\displaystyle {\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}}$ являются подходящими дробями золотого сечения ${\displaystyle \phi }$ и, в частности, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi .}$
• Суммы биномиальных коэффициентов на диагоналях треугольника Паскаля являются числами Фибоначчи ввиду формулы

  ${\displaystyle F_{n+1}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{n-k \choose k}}$ .

• В 1964 году Дж. Кон (J. H. E. Cohn) доказал,^[4] что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12:

  ${\displaystyle F_{0}=0^{2}=0}$ , ${\displaystyle F_{1}=1^{2}=1}$ , ${\displaystyle F_{2}=1^{2}=1}$ , ${\displaystyle F_{12}=12^{2}=144}$ .

• Производящей функцией последовательности чисел Фибоначчи является:

  ${\displaystyle x+x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+5x^{5}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}x^{n}={\frac {x}{1-x-x^{2}}}}$

• Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством неотрицательных значений многочлена

  ${\displaystyle z(x,y)=2xy^{4}+x^{2}y^{3}-2x^{3}y^{2}-y^{5}-x^{4}y+2y,}$

на множестве неотрицательных целых чисел x и y.^[5]

• Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.
• Период чисел Фибоначчи по модулю натурального числа n называется периодом Пизано и обозначается π(n). Периоды Пизано π(n) образуют последовательность:

  1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, … (последовательность A001175 в OEIS)

  • В частности, последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом π(10)=60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом π(100)=300, последние три цифры — с периодом π(1000)=1500, последние четыре — с периодом π(10000)=15000, последние пять — с периодом π(100000)=150000 и т. д.
• Натуральное число N является числом Фибоначчи тогда и только тогда, когда ${\displaystyle 5N^{2}+4}$ или ${\displaystyle 5N^{2}-4}$ является квадратом.^[6]
• Не существует арифметической прогрессии длиной больше 3, состоящей из чисел Фибоначчи.^[7]
• Число Фибоначчи ${\displaystyle F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}}$ равно количеству кортежей длины n из нулей и единиц, в которых нет двух соседних единиц. При этом ${\displaystyle F_{n+1}}$ равно количеству таких кортежей, начинающихся с нуля, а ${\displaystyle F_{n}}$  — начинающихся с единицы.
• Произведение любых ${\displaystyle n}$ подряд идущих чисел Фибоначчи делится на произведение первых ${\displaystyle n}$ чисел Фибоначчи.
• Число 0,112358132134… (после запятой записаны подряд идущие числа Фибоначчи) является иррациональным.^{[источник не указан 1755 дней]}

Вариации и обобщения

• Числа трибоначчи
• Числа Фибоначчи являются частным случаем последовательностей Люка ${\displaystyle F_{n}=U_{n}(1,-1)}$ .
  • При этом их дополнением являются числа Люка ${\displaystyle L_{n}=V_{n}(1,-1)}$ .

В других областях

Существует мнение, что почти все утверждения, находящие числа Фибоначчи в природных и исторических явлениях, неверны — это распространённый миф, который часто оказывается неточной подгонкой под желаемый результат^[8][9].

См. также

• Дерево Фибоначчи
• Метод Фибоначчи с запаздываниями
• Метод Фибоначчи поиска экстремума
• Фибоначчи
• Фибоначчиева система счисления
• Числа Бине
• Числа Леонардо
• Таблица Витхоффа
• Последовательность коров Нараяны
• Золотое сечение

Примечания

Литература

• Н. Н. Воробьёв. Числа Фибоначчи. — Наука, 1978. — Т. 39. — (Популярные лекции по математике).
• А. И. Маркушевич. Возвратные последовательности. — Гос. Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1950. — Т. 1. — (Популярные лекции по математике).
• А. Н. Рудаков. Числа Фибоначчи и простота числа 2¹²⁷-1 // Математическое Просвещение, третья серия. — 2000. — Т. 4.
• Дональд Кнут. Искусство программирования, том 1. Основные алгоритмы = The Art of Computer Programming, vol.1. Fundamental Algorithms. — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 720. — ISBN 0-201-89683-4.
• Дональд Кнут, Роналд Грэхем, Орен Паташник. Конкретная математика. Основание информатики = Concrete Mathematics. A Foundation for Computer Science. — М.: Мир; Бином. Лаборатория знаний, 2006. — С. 703. — ISBN 5-94774-560-7.
• Грант Аракелян. Математика и история золотого сечения. — М.: Логос, 2014. — С. 404. — ISBN 978-5-98704-663-0.

Ссылки

	Числа Фибоначчи в Викиучебнике
	Числа Фибоначчи на Викискладе

• Первые 300 чисел Фибоначчи (англ.).
• Числа Фибоначчи в природе (англ.).