WikiSort.ru - Не сортированное

Об утверждении, зависящем от точки пространства с мерой, говорят, что оно выполнено почти всюду, если множество точек, для которых оно не выполнено, имеет меру ноль^[1].

Часто используется сокращение, п.в. для почти всюду. Например для функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle h}$ выражение

${\displaystyle f=\!=^{\!\!\!\!\!\!\!\!{\text{п.в.}}}h}$

означает, что равенство

${\displaystyle f(x)=h(x)}$

выполняется при почти всех значениях переменной ${\displaystyle x}$ .

Определение

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$  — пространство с мерой. Обозначим символом ${\displaystyle T}$ множество точек из ${\displaystyle X}$ , для которых верно некоторое утверждение ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ . Говорят, что утверждение ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ выполнено почти всюду (п.в.), если

${\displaystyle (X\setminus T)\subset A,\mu (A)=0}$

Примеры

• Функция Дирихле равна нулю почти всюду, ибо ${\displaystyle m(\mathbb {Q} )=0}$ , где ${\displaystyle m}$  — мера Лебега на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .
• Канторова лестница имеет производную, равную нулю почти всюду.

См. также

• Почти все элементы бесконечного множества
• Сходимость почти всюду

Примечания

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.