Свойства
- Непрерывный образ сепарабельного пространства сепарабелен.
- Каждое открытое топологическое подпространство сепарабельного пространства сепарабельно.
- Не более чем счётное произведение сепарабельных пространств сепарабельно. (При этом произведение произвольного количества сепарабельных пространств уже не обязано быть сепарабельным.)
- Множество всех вещественнозначных непрерывных функций на сепарабельном пространстве имеет мощность не больше континуума (так как непрерывная функция однозначно задаётся своими значениями на плотном подмножестве).
- Сепарабельность в случае метрического пространства эквивалентна наличию счетной базы топологии. Компактное метрическое пространство сепарабельно.
- Если в метрическом пространстве присутствует несчётное число элементов, попарное расстояние между которыми больше некоторой положительной константы, то пространство не является сепарабельным.
Примеры
- Дискретное топологическое пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно не более чем счётно.
- Пространство вещественных чисел сепарабельно: счётным всюду плотным множеством здесь являются рациональные числа. Более общо, пространства
и
сепарабельны.
- Пространство непрерывных функций на отрезке
с метрикой равномерной сходимости (то есть пространство
) сепарабельно. По аппроксимационной теореме Вейерштрасса пространство многочленов с рациональными коэффициентами на том же отрезке является его счётным всюду плотным подпространством. Теорема Банаха — Мазура утверждает, что любое сепарабельное банахово пространство изоморфно какому-либо замкнутому подпространству
.
- Гильбертово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда в нём существует счётный ортонормированный базис.
- Пространство
не является сепарабельным, так как содержит несчётное множество с попарными расстояниями, равными единице (множество всех последовательностей из нулей и единиц).
- Пространства Гёльдера
не являются сепарабельными.[2]
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .