WikiSort.ru - Не сортированное

Ряд обратных квадратов — бесконечный ряд:

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots

Задача нахождения суммы этого ряда долгое время оставалась нерешённой. Поскольку внимание европейских математиков на данную проблему обратил базельский профессор математики Якоб Бернулли (1689 год), в истории она нередко называется «базельской задачей» (или «базельской проблемой»). Первым сумму ряда сумел найти в 1735 году 28-летний Леонард Эйлер, она оказалась равна

{\frac {1}{6}}\pi ^{2}\approx 1{,}6449340668

(см. A013661).

Решение данной проблемы не только принесло молодому Эйлеру мировую славу, но и оказало значительное влияние на дальнейшее развитие анализа, теории чисел, а впоследствии — комплексного анализа. В очередной раз (после открытия ряда Лейбница) число $\pi$ вышло за пределы геометрии и подтвердило свою универсальность. Наконец, ряд обратных квадратов оказался первым шагом к введению знаменитой дзета-функции Римана^[1].

История

Впервые рассуждения о ряде обратных квадратов историки обнаружили в работах итальянского математика Пьетро Менголи (1644), но тогда задача не вызвала общего интереса. Позднее найти сумму ряда безуспешно пытались многие выдающиеся математики, в том числе Лейбниц, Стирлинг, де Муавр, братья Якоб и Иоганн Бернулли. Они вычислили несколько значащих цифр суммы ряда, Якоб Бернулли строго доказал, что ряд сходится к некоторому конечному значению, однако никто не смог определить, с чем это значение могло бы быть связано^[2].

Якоб Бернулли призвал в своей книге «Арифметические предложения о бесконечных рядах» (1689): «Если кому-либо удастся найти то, что до сих пор не поддавалось нашим усилиям, и если он сообщит это нам, то мы будем очень ему обязаны»^[1]^[3]. Но при жизни Якоба Бернулли решение так и не появилось.

Первым успеха добился Эйлер, спустя почти полвека после обращения Бернулли. Скорее всего, о данной проблеме Эйлеру рассказал Иоганн Бернулли, брат Якоба. Эйлер сообщил об открытии в заметке «О суммах обратных рядов» (De summis serierum reciprocarum, Commentarii, 1735 год)^[4] для журнала Петербургской академии наук. Найденное им значение суммы Эйлер также сообщил письмом своему другу Даниилу Бернулли, сыну Иоганна Бернулли^[5]:

Недавно я нашёл, и совсем неожиданно, изящное выражение для суммы ряда, связанного с квадратурой круга… А именно, шестикратная сумма этого ряда равна квадрату периметра круга, диаметр которого 1.

Даниил рассказал отцу, который выразил сомнение в справедливости эйлеровского разложения синуса в бесконечное произведение (см. ниже). Поэтому в 1748 году Эйлер более строго обосновал результат в своей монографии «Введение в анализ бесконечно малых» (Introductio in analysin infinitorum, том I, глава X)^[6].

Для контроля Эйлер вычислил вручную сумму ряда с 20 знаками (видимо, используя формулу Эйлера — Маклорена, так как ряд обратных квадратов сходится довольно медленно). Далее он сопоставил сумму со значением ${\frac {\pi ^{2}}{6}},$ используя уже известное в тот период приближённое значение числа $\pi$ , и убедился, что оба значения, в пределах точности счёта, совпадают^[7]. Впоследствии (1743) Эйлер опубликовал ещё два разных способа суммирования ряда обратных квадратов^[8], один из них описан ниже как 4-й способ из книги Г. М. Фихтенгольца.

Доказательство сходимости ряда

Достаточно доказать, что сходится ряд:

1+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{4\cdot 5}}\cdots \ ,

потому что каждое слагаемое в нём (кроме первого) больше, чем в ряде обратных квадратов. Представим новый ряд в виде:

1+\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \

Очевидно, частичная сумма $S_{n}$ этого ряда равна $2-{1 \over n},$ поэтому ряд сходится, и его сумма равна 2. Следовательно, и ряд обратных квадратов сходится к некоторому числу в интервале (1, 2).

Метод Эйлера для нахождения суммы ряда

К концу XVII века, благодаря работам Ньютона и других математиков, было известно разложение в ряд функции синуса:

\sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots

Эйлер сумел получить другое разложение синуса — не в сумму, а в бесконечное произведение:

\sin(x)=x\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{16\pi ^{2}}}\right)\cdots

Приравняв оба выражения и сократив на $x,$ получим:

\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{16\pi ^{2}}}\right)\cdots =1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots

(1)

Поскольку это тождество выполняется при всех $x,$ коэффициенты при $x^{2}$ в обеих его частях должны быть равны:

-{\frac {1}{\pi ^{2}}}-{\frac {1}{4\pi ^{2}}}-{\frac {1}{9\pi ^{2}}}-{\frac {1}{16\pi ^{2}}}-\cdots =-{\frac {1}{6}}

Умножив обе части равенства на $(-\pi ^{2}),$ окончательно получаем^[9]:

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

Альтернативные способы нахождения суммы

Ряд Фурье

Аппарат разложения в ряд Фурье в применении к функции $f(x)=x^{2}$ позволяет особенно легко и быстро получить сумму ряда обратных квадратов. Для чётной функции это разложение имеет следующий общий вид:

f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx

Вычислим коэффициенты $a_{n}$ по стандартным формулам:

a_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }x^{2}dx={\pi ^{2} \over 3};\quad a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }x^{2}\cos(nx)dx=(-1)^{n}{\frac {4}{n^{2}}}

В итоге разложение приобретает вид:

x^{2}={\pi ^{2} \over 3}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {4\cos(nx)}{n^{2}}}

Подставив в эту формулу $x=\pi ,$ получаем

\pi ^{2}={\pi ^{2} \over 3}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {4(-1)^{n}}{n^{2}}},

или:

{2 \over 3}\pi ^{2}=4\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}

Разделив на 4, получим окончательный результат.

Если вместо $x=\pi$ подставить $x=0,$ получится ещё одна сумма:

{\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots ={\pi ^{2} \over 12}

Другой путь к решению задачи — использовать равенство Парсеваля для функции $f(x)=x$ .

Методы из курса анализа Г. М. Фихтенгольца

Во втором томе трёхтомного «Курсе дифференциального и интегрального исчисления» Г. М. Фихтенгольца приводятся несколько способов суммирования ряда обратных квадратов^[10].

Первый способ (стр. 461) основан на разложении арксинуса:

2(\arcsin y)^{2}=\sum _{m=1}^{\infty }{{\frac {[(m-1)!]^{2}}{(2m)!}}(2y)^{2m}}

При $y={1 \over 2}$ получаем

\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {[(m-1)!]^{2}}{(2m)!}}={\frac {\pi ^{2}}{18}}

Но ранее в томе 2 (стр. 340) было показано, что левая часть последнего уравнения равна трети суммы ряда обратных квадратов, откуда получаем сумму ряда.

Второй способ (стр. 490) по существу совпадает с приведенным выше методом Эйлера.

Третий способ замечателен тем, что сразу даёт суммы всех рядов обратных чётных степеней:

S_{2n}=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{2n}}}

Он основан на двух формулах разложения гиперболического котангенса. Первая (стр. 484) справедлива при $|x|<1$ :

\pi x\cdot \operatorname {cth} (\pi x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}S_{2n}x^{2n}

Вторая (стр. 495) связывает гиперболический котангенс с числами Бернулли $B_{n}$ :

\pi x\cdot \operatorname {cth} (\pi x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {(2\pi )^{2n}B_{n}}{(2n)!}}x^{2n}

Приравнивая одинаковые степени в обеих формулах, получаем формулу связи сумм рядов с числами Бернулли:

B_{n}={\frac {2(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}S_{2n}

Для $n=1$ , с учётом $B_{1}={1 \over 6},$ получаем ожидаемый результат.

Четвёртый способ (стр. 671), найденный ещё Эйлером в 1741 году, основан на интегрировании рядов. Обозначим:

E=\int \limits _{0}^{1}{{\frac {\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ dx}=\int \limits _{0}^{1}{\arcsin x\ d\arcsin x}={\frac {\pi ^{2}}{8}}

Воспользуемся разложением арксинуса в ряд для промежутка [0, 1]:

\arcsin x=x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}

Этот ряд сходится равномерно, и можно интегрировать его почленно:

E=\int \limits _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ dx+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2n+1}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ dx

Первый интеграл равен 1, а второй после подстановки $x=\sin t$ оказывается равен ${\frac {(2n)!!}{(2n+1)!!}},$ поэтому получаем:

E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}

Эта сумма содержит обратные квадраты нечётных чисел. Нужная нам сумма $S$ ряда всех обратных квадратов состоит из двух частей, первая из которых равна $E,$ а вторая содержит обратные квадраты чётных чисел:

S={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\dots =E+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}+{1 \over 4}S

То есть ${3 \over 4}S={\frac {\pi ^{2}}{8}},$ откуда: $S={\frac {\pi ^{2}}{6}}.$

Другие подходы

Огюстен Луи Коши в 1821 году предложил оригинальный и строгий, хотя довольно сложный, метод суммирования ряда^[11]. См. подробное изложение в статье И. В. Терещенко^[12].

В статье К. П. Кохася^[9] приводятся несколько различных способов суммирования ряда: через интегралы, комплексные вычеты, гамма-функцию, разложение арксинуса или котангенса, возведение в квадрат ряда Лейбница. Ещё одна коллекция методов суммирования изложена в статье Чепмена^[13].

Вариации и обобщения

Исходя из формулы (1), Эйлер рассчитал суммы не только для ряда обратных квадратов, но и для рядов из других чётных степеней, вплоть до 26-й, например^[1]:

{\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+\dots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}

{\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\frac {1}{4^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+\dots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}

и т. д. Эйлер также выяснил, что суммы таких рядов связаны с числами Бернулли следующим образом^[6]:

S_{2k}=(-1)^{k-1}{\frac {(2\pi )^{2k}}{2(2k)!}}B_{2k},

где $B_{2k}$ — числа Бернулли.

Эйлер просуммировал и модификацию ряда обратных квадратов, содержащую (в знаменателях) квадраты или иные чётные степени нечётных чисел^[14]; суммы рядов оказались также связаны с числом $\pi .$

Для рядов из нечётных степеней теоретическое выражение их сумм до сих пор не известно. Доказано лишь, что сумма ряда обратных кубов (постоянная Апери) — иррациональное число^[1].

Если рассматривать показатель степени в общем ряде обратных степеней как переменную (не обязательно целочисленную), то получится дзета-функция Римана, играющая огромную роль в анализе и теории чисел:

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.

Таким образом, сумма ряда обратных квадратов есть $\zeta (2).$ Первые исследования свойств дзета-функции выполнил Эйлер. В 1859 году появилась глубокая работа Бернхарда Римана, которая расширила определение дзета-функции на комплексную область. На основе тождества Эйлера Риман детально рассмотрел связь дзета-функции с распределением простых чисел.

В 1768 году Эйлер предложил ещё одно обобщение ряда обратных квадратов — дилогарифм Эйлера^[15]:

\operatorname {Li} _{2}(x)=-\int _{0}^{x}{\frac {\ln(1-t)}{t}}\,\mathrm {d} t={\frac {x^{1}}{1^{2}}}+{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+\dots

Литература

Дуран, Антонио. Поэзия чисел. Прекрасное и математика. — М.: Де Агостини, 2014. — 160 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 27). — ISBN 978-5-9774-0722-9.
Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. II. — С. 461—462, 490, 496, 671. — 800 с. — ISBN 5-9221-0155-2.

Ссылки

Кохась К. П. Сумма обратных квадратов // Математическое просвещение. — 2004. — Вып. 8. — С. 142–163.
Соболевский А., доктор физ.-мат. наук (ИППИ РАН). Вокруг Базельской задачи: Бернулли, Эйлер, Риман (неопр.) (2014). — видеолекция. Проверено 24 мая 2016.
Chapman, Robin. Evaluating ζ(2) (англ.) (1999). Проверено 17 апреля 2016.
Pengelley, David J. Dances between continuous and discrete: Euler's summation formula (англ.). Euler 2K+2 conference, Rumford, Maine (2002). Проверено 17 апреля 2016.
Weisstein, Eric W. Riemann Zeta Function zeta(2) (англ.). MathWorld - -A Wolfram Web Resource. Проверено 17 апреля 2016.

Примечания

1 2 3 4 Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — С. 90—92, 103—109. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.
↑ Leonhard Euler biography (неопр.). Проверено 16 апреля 2016.
↑ Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения. — Изд. 2-е, исправленное. — М.: Наука, 1975. — С. 40.
↑ E41 -- De summis serierum reciprocarum (неопр.). Проверено 17 апреля 2016.
↑ Наварро, Хоакин. До предела чисел (неопр.). Проверено 10 августа 2016.
1 2 История математики, том III, 1972, с. 337.
↑ Антонио Дуран, 2014, с. 109.
↑ Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М.: ГИФМЛ, 1960. — С. 143—144. — 468 с.
1 2 Кохась К. П., 2004.
↑ Фихтенгольц Г. М., 1966.
↑ Cauchy A. L. Cours d'analyse de l'École royale polytechnique I.re partie: Analyse algébrique. — Paris: Impr. royale Debure frères, 1821. — 576 p.
↑ Терещенко И. В. Базельская задача i. Метод Коши и его обобщение для вычисления сумм чисел обратных четвёртой степени // Научные труды КубГТУ. — 2014. — № №2.
↑ Robin Chapman.
↑ Жуков А. В. Вездесущее число «пи». — 2-е изд. — М.: Издательство ЛКИ, 2007. — С. 145. — 216 с. — ISBN 978-5-382-00174-6.
↑ Leonhard Euler, Institutiones calculi integrals

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[DER-1] 1 2 3 4 Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — С. 90—92, 103—109. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.

[2] Leonhard Euler biography (неопр.). Проверено 16 апреля 2016.

[3] Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения. — Изд. 2-е, исправленное. — М.: Наука, 1975. — С. 40.

[4] E41 -- De summis serierum reciprocarum (неопр.). Проверено 17 апреля 2016.

[5] Наварро, Хоакин. До предела чисел (неопр.). Проверено 10 августа 2016.

[IM337-6] 1 2 История математики, том III, 1972, с. 337.

[_df8a72bbe94bec33-7] Антонио Дуран, 2014, с. 109.

[8] Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М.: ГИФМЛ, 1960. — С. 143—144. — 468 с.

[_d175a643e97eef77-9] 1 2 Кохась К. П., 2004.

[_afdb1bae423b0a29-10] Фихтенгольц Г. М., 1966.

[11] Cauchy A. L. Cours d'analyse de l'École royale polytechnique I.re partie: Analyse algébrique. — Paris: Impr. royale Debure frères, 1821. — 576 p.

[12] Терещенко И. В. Базельская задача i. Метод Коши и его обобщение для вычисления сумм чисел обратных четвёртой степени // Научные труды КубГТУ. — 2014. — № №2.

[_3a963db876adc955-13] Robin Chapman.

[14] Жуков А. В. Вездесущее число «пи». — 2-е изд. — М.: Издательство ЛКИ, 2007. — С. 145. — 216 с. — ISBN 978-5-382-00174-6.

[15] Leonhard Euler, Institutiones calculi integrals