WikiSort.ru - Не сортированное

Скаля́рное произведе́ние (иногда внутреннее произведение) — операция над двумя векторами, результатом которой является число (когда рассматриваются векторы, числа часто называют скалярами), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Обычно используется одно из следующих обозначений:

${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle }$ ,

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ ,

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$ ,

или (обозначение Дирака, часто применяемое в квантовой механике для векторов состояния):

${\displaystyle \langle a|b\rangle }$ .

Обычно предполагается, что скалярное произведение положительно определено, то есть

${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle >0}$ для всех ${\displaystyle a\not =0}$ .

Если этого не предполагать, то произведение называется индефинитным или неопределенным.

Определение

Скалярным произведением в векторном пространстве ${\displaystyle \mathbb {L} }$ над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ комплексных (или ${\displaystyle \mathbb {R} }$ вещественных) чисел называется функция ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ для элементов ${\displaystyle x,y\in \mathbb {L} }$ , принимающая значения в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (или ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ), определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:

1. для любых трех элементов ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ и ${\displaystyle y}$ пространства ${\displaystyle \mathbb {L} }$ и любых чисел ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ из ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (или ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ) справедливо равенство ${\displaystyle \langle \alpha x_{1}+\beta x_{2},y\rangle =\alpha \langle x_{1},y\rangle +\beta \langle x_{2},y\rangle }$ (линейность скалярного произведения по первому аргументу);
2. для любых ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ справедливо равенство ${\displaystyle \langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}}$ , где черта означает комплексное сопряжение (эрмитова симметричность);
3. для любого ${\displaystyle x}$ имеем ${\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0}$ , причем ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$ только при ${\displaystyle x=0}$ (положительная определенность скалярного произведения).

Заметим, что из п.2 определения следует, что ${\displaystyle \langle x,x\rangle \in \mathbb {R} }$ . Поэтому п.3 имеет смысл, несмотря на комплексные (в общем случае) значения скалярного произведения.

Алгебраическое определение

Скалярное произведение для двух векторов a = [a₁, a₂, ..., a_n] и b = [b₁, b₂, ..., b_n] в n-мерном действительном пространстве, с ортонормированным базисом, определяется как^[1]

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}$ .

Например, в трёхмерном пространстве произведение векторов [1, 3, −5] и [4, −2, −1] будет вычислено как:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end{aligned}}}$

Для комплексных векторов a = [a₁, a₂, ..., a_n] и b = [b₁, b₂, ..., b_n] скалярное произведение определяется как:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overline {b_{i}}}=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots +a_{n}{\overline {b_{n}}}}$ .

Например, ${\displaystyle [1+i,2]\cdot [2+i,i]=(1+i)\cdot ({\overline {2+i}})+2\cdot {\overline {i}}=(1+i)\cdot (2-i)+2\cdot (-i)=3-i}$

Геометрическое определение

Если определения длины вектора и угла между векторами введены независимым образом до введения понятия скалярного произведения (как правило, так и поступают при изложении классической геометрии), то скалярное произведение определяется через длины сомножителей и угол между ними:

${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}}$

Современная аксиоматика обычно строится начиная со скалярного произведения, и тогда длина вектора и угол определяются уже через скалярное произведение (см. ниже).

Связанные определения

• Вещественное конечномерное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым, комплексное — унитарным.

В современном аксиоматическом подходе уже на основе понятия скалярного произведения векторов вводятся следующие производные понятия:

• Длина вектора, под которой обычно понимается его евклидова норма: ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$ (термин 'длина' обычно применяется к конечномерным векторам, однако в случае вычисления длины криволинейного пути часто используется и в случае бесконечномерных пространств).
• Углом между двумя ненулевыми векторами евклидова пространства (в частности, евклидовой плоскости) называется число, косинус которого равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):
      ${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \varphi .}$
  В случае, если пространство является псевдоевклидовым, понятие угла определяется лишь для векторов, не содержащих изотропных прямых внутри образованного векторами сектора. Сам угол при этом вводится как число, гиперболический косинус которого равен отношению модуля скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):
      ${\displaystyle |\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\operatorname {ch} \varphi .}$

• Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Например, ортогональные многочлены на самом деле ортогональны (в смысле этого определения) друг другу в некотором гильбертовом пространстве.
• Пространство (вещественное или комплексное) с положительно определённым скалярным произведением называется предгильбертовым пространством.
  • При этом конечномерное вещественное пространство с положительно определённым скалярным произведением называется также евклидовым, а комплексное — эрмитовым или унитарным пространством.
• Случай, когда скалярное произведение не является знакоопределённым, приводит к т. н. пространствам с индефинитной метрикой. Скалярное произведение в таких пространствах уже не порождает нормы (и она обычно вводится дополнительно). Конечномерное вещественное пространство с индефинитной метрикой называется псевдоевклидовым (важнейшим частным случаем такого пространства является пространство Минковского). Среди бесконечномерных пространств с индефинитной метрикой важную роль играют пространства Понтрягина и пространства Крейна.

Примеры

• В трёхмерном вещественном векторном пространстве векторов ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},x_{3})}$ введение скалярного произведения по формуле ${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}}$ превращает это пространство в евклидово пространство. Аналогичное утверждение верно для евклидова пространства любой размерности (в сумму тогда входит количество членов, равное размерности пространства).
  • В любом евклидовом пространстве (размерности n) всегда можно выбрать^[2] ортонормированный базис ${\displaystyle {\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n}}}$
    

при разложении векторов по которому:

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\dots +a_{n}\mathbf {e} _{n}}$ ,

${\displaystyle \mathbf {b} =b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+\dots +b_{n}\mathbf {e} _{n}}$ итд,

скалярное произведение будет выражаться формулой:

${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =\mathbf {a} ^{T}\mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\dots +a_{n}b_{n}}$ .

• В таком же, но комплексном, пространстве, скалярное произведение вводится по несколько другой формуле: ${\displaystyle \langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle =x_{1}{\overline {y_{1}}}+x_{2}{\overline {y_{2}}}+x_{3}{\overline {y_{3}}}}$ . Здесь через ${\displaystyle {\overline {a}}}$ обозначено число, комплексно сопряжённое к ${\displaystyle \ a}$ . При таком определении скалярное произведение становится положительно определённым. Без комплексного сопряжения аксиома эрмитовости скалярного произведения была бы нарушена, а значит, вещественности определённой через него нормы вектора добиться бы не удалось, то есть норма в обычном смысле им бы не порождалась.
• В пространстве измеримых интегрируемых с квадратами на некоторой области Ω вещественных функций можно ввести положительно определённое скалярное произведение:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int \limits _{\Omega }f(x)g(x)d\Omega }$

• В аналогичном случае для комплексных функций, если требуется эрмитовость (и положительная определённость) скалярного произведения, надо добавить комплексное сопряжение к f или g под интегралом.
• При использовании неортонормированных базисов скалярное произведение выражается через компоненты векторов с участием метрического тензора ${\displaystyle g_{ij}}$ :

${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =\sum g_{ij}a^{i}b^{j}}$

при этом сама метрика (говоря точнее, её представление в данном базисе) так связана со скалярными произведениями базисных векторов ${\displaystyle f_{i}\ }$ :

${\displaystyle g_{ij}=\langle \mathbf {f} _{i},\mathbf {f} _{j}\rangle }$

• • (метрика в ортонормированных базисах тривиальна, то есть представлена единичной матрицей ${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}$ )
• Аналогичные конструкции скалярного произведения можно вводить и на бесконечномерных пространствах, например, на пространствах функций:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int \limits _{(\Omega _{1}\times \Omega _{2})}K(x_{1},x_{2})f(x_{1})g(x_{2})d(\Omega _{1}\times \Omega _{2})}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int \limits _{\Omega }K(x)f(x)g(x)d\Omega }$

где К — положительно определённая, в первом случае симметричная относительно перестановки аргументов (при комплексных x — эрмитова) функция (если нужно иметь обычное симметричное положительно определённое скалярное произведение).

Свойства

• теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения:

  ${\displaystyle |BC|^{2}={\vec {BC}}^{2}=({\vec {AC}}-{\vec {AB}})^{2}=\langle {\vec {AC}}-{\vec {AB}},{\vec {AC}}-{\vec {AB}}\rangle ={\vec {AC}}^{2}+{\vec {AB}}^{2}-2\langle {\vec {AC}},{\vec {AB}}\rangle =|AB|^{2}+|AC|^{2}-2|AB||AC|\cos {\hat {A}}}$

• Угол между векторами:

  ${\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle }{\sqrt {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle \langle \mathbf {b} ,\mathbf {b} \rangle }}}}$

• Оценка угла между векторами:

  в формуле ${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}}$ знак определяется только косинусом угла (нормы векторов всегда положительны). Поэтому скалярное произведение > 0, если угол между векторами острый, и < 0, если угол между векторами тупой.

• Проекция вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ на направление, определяемое единичным вектором ${\displaystyle \mathbf {e} }$ :

  ${\displaystyle a_{e}=\langle \mathbf {a} ,\mathbf {e} \rangle =|\mathbf {a} ||\mathbf {e} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}=|\mathbf {a} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}}$ ,   так как ${\displaystyle |\mathbf {e} |=1}$

• условие ортогональности^[3] (перпендикулярности) векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ :

${\displaystyle \mathbf {a} \bot \mathbf {b} \Leftrightarrow \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =0}$

• Площадь параллелограмма, натянутого на два вектора ${\displaystyle \mathbf {a} \ }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} \ }$ , равна

${\displaystyle {\sqrt {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle \langle \mathbf {b} ,\mathbf {b} \rangle -\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle ^{2}}}\ }$

История

Скалярное произведение было введено У. Гамильтоном в 1846 году^[4] одновременно с векторным произведением в связи с кватернионами — соответственно, как скалярная и векторная часть произведения двух кватернионов, скалярная часть которых равна нулю^[5].

Вариации и обобщения

Простейшим обобщением конечномерного скалярного произведения в тензорной алгебре является свёртка по повторяющимся индексам. Аналогичное обобщение в принципе нетрудно сделать и в бесконечномерном случае (Для бесконечномерных пространств функций — см. примеры (выше)).

См. также

• Псевдоскалярное произведение
• Внешнее произведение
• Векторное произведение
• Смешанное произведение
• Гильбертово пространство
• Метрический тензор

Примечания

Ссылки

• На Викискладе есть медиафайлы по теме Скалярное произведение