WikiSort.ru - Не сортированное

Рядом Дирихле называется ряд вида

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},}$

где s и a_n — комплексные числа, n = 1, 2, 3, … .

Абсциссой сходимости ряда Дирихле называется такое число ${\displaystyle \sigma _{c}}$ , что при ${\displaystyle \operatorname {Re} \,s>\sigma _{c}}$ он сходится; абсциссой абсолютной сходимости называется такое число ${\displaystyle \sigma _{a}}$ , что при ${\displaystyle \operatorname {Re} \,s>\sigma _{a}}$ ряд сходится абсолютно. Для любого ряда Дирихле справедливо соотношение ${\displaystyle 0\leqslant \sigma _{a}-\sigma _{c}\leqslant 1}$ (если ${\displaystyle \sigma _{c}}$ и ${\displaystyle \sigma _{a}}$ конечны).

Этот ряд играет значительную роль в теории чисел. Наиболее распространённым примером ряда Дирихле является дзета-функция Римана, а также L-функция Дирихле. Ряд назван в честь Густава Дирихле.

Сходимость в разных точках

Если некоторый ряд сходится в комплексной точке ${\displaystyle s_{0}=\sigma _{0}+t_{0}i}$ , то этот же ряд сходится в любой точке ${\displaystyle s=\sigma +ti}$ , для которой ${\displaystyle \sigma >\sigma _{0}}$ . Из этого следует, что существует некоторая точка ${\displaystyle \sigma =\sigma _{c}}$ такая, что при ${\displaystyle \operatorname {Re} s>\sigma _{c}}$ ряд сходится, а при ${\displaystyle \operatorname {Re} s<\sigma _{c}}$ — расходится. Такая точка называется абсциссой сходимости.

Абсциссой абсолютной сходимости для ряда ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$ называется точка ${\displaystyle \sigma _{a}}$ такая, что при ${\displaystyle \operatorname {Re} s>\sigma _{a}}$ ряд сходится абсолютно. Справедливо утверждение о том, что ${\displaystyle 0\leqslant \sigma _{a}-\sigma _{c}\leqslant 1}$ .

Поведение функции при ${\displaystyle \operatorname {Re} s}$ может быть различным. Эдмунд Ландау показал, что точка ${\displaystyle s=\sigma _{c}}$ является особой для некоторого ряда Дирихле, если ${\displaystyle \sigma _{c}}$ - его абсцисса сходимости.

Примеры

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$ ,

где ${\displaystyle \zeta (s)}$ — дзета-функция Римана.

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$ ,

где μ(n) — функция Мёбиуса.

${\displaystyle {\frac {1}{L(\chi ,s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n^{s}}}}$ ,

где ${\displaystyle L(\chi ,s)}$ — L-функция Дирихле.

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{z^{n} \over n^{s}}}$ ,

где Li_s(z) — полилогарифм.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{k}}+\cdots }$ ,

гармонический ряд расходится.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.