WikiSort.ru - Не сортированное

Формулировка

Доказательство

Перемножая неравенства, составленные для ${\displaystyle k=1,2,...,n-1}$ , получаем

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{1}}}\leqslant {\frac {b_{n}}{b_{1}}},}$ или ${\displaystyle a_{n}\leqslant {\frac {a_{1}}{b_{1}}}\,b_{n},\forall n.}$

Дальше достаточно применить признак сравнения для положительных рядов ${\displaystyle \sum a_{k}}$ и ${\displaystyle \sum {\frac {a_{1}}{b_{1}}}\,b_{k}}$ (и учесть, что постоянный множитель не влияет на сходимость).

Формулировка

Доказательство

Из ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$ мы знаем, что для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует ${\displaystyle n_{0}}$ такое, что для всех ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ мы имеем ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon }$ , или, что то же самое:

${\displaystyle -\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon }$

${\displaystyle c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon }$

${\displaystyle (c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}}$

Так как ${\displaystyle c>0}$ , мы можем взять ${\displaystyle \varepsilon }$ достаточно малым, чтобы ${\displaystyle c-\varepsilon }$ было положительным. Но тогда ${\displaystyle b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}}$ , и по вышеописанному признаку сравнения если ${\displaystyle \sum _{n}a_{n}}$ сходится, то сходится и ${\displaystyle \sum _{n}b_{n}}$ .

Точно так же ${\displaystyle a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}}$ , и тогда, если ${\displaystyle \sum _{n}b_{n}}$ сходится, то сходится и ${\displaystyle \sum _{n}a_{n}}$ .

Таким образом либо оба ряда сходятся, либо они оба расходятся.