Сходящийся ряд называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей , иначе — сходящимся условно.
Аналогично, если несобственный интеграл от функции сходится, то он называется сходящимся абсолютно или условно в зависимости от того, сходится или нет интеграл от её модуля .
В случае общего нормированного пространства модуль в определении заменяется на норму.
Если при , то:
Пусть . Тогда ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд
Обозначим:
Поскольку сходимость ряда с неотрицательными членами эквивалентна ограниченности последовательности его частичных сумм, то достаточно показать, что и ограничены или не ограничены одновременно.
При имеем
Таким образом,
С другой стороны, при
Таким образом, и последовательности и или обе ограничены, или обе не ограничены.
Ряд
Пусть задан ряд и . Тогда
Утверждение о сходимости в признаках Коши и Даламбера выводится из сравнения с геометрической прогрессией (со знаменателями и соответственно), о расходимости — из того, что общий член ряда не стремится к нулю.
Признак Коши сильнее признака Даламбера в том смысле, что если признак Даламбера указывает на сходимость, то и признак Коши указывает на сходимость; если признак Коши не позволяет сделать вывода о сходимости, то и признак Даламбера тоже не позволяет сделать никаких выводов; существуют ряды, для которых признак Коши указывает на сходимость, а признак Даламбера не указывает на сходимость.
Пусть задан ряд и функция такая, что:
Тогда ряд и интеграл сходятся или расходятся одновременно, причем
Пусть задан ряд , и .
Признак Раабе основан на сравнении с обобщенным гармоническим рядом
Рассмотрим ряд . Для этого ряда:
Таким образом, признак Коши указывает на сходимость, признак Даламбера же не позволяет сделать никаких заключений.
Рассмотрим ряд
Таким образом, признак Коши указывает на расходимость, признак Даламбера же не позволяет сделать никаких заключений.
Ряд сходится при и расходится при , однако:
Таким образом, признаки Коши и Даламбера не позволяют сделать никаких выводов.
Ряд сходится условно по признаку Лейбница, но не абсолютно, так как гармонический ряд расходится.
Несобственный интеграл первого рода называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .
Пусть определена и интегрируема на , неограничена в левой окрестности точки . Несобственный интеграл второго рода называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .
Для улучшения этой статьи по математике желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .