WikiSort.ru - Не сортированное

Поточечная сходимость

Функциональная последовательность ${\displaystyle \ {u_{k}}(x)}$ сходится поточечно к функции ${\displaystyle \ {u}(x)}$ , если ${\displaystyle \forall x\in E\;\;\;\exists \lim _{k\rightarrow \infty }\ {u_{k}}(x)=\ {u}(x)}$ .

Равномерная сходимость

Существует функция ${\displaystyle \ u(x):E\mapsto \mathbb {C} }$ такая, что: ${\displaystyle \ \sup \mid {u_{k}}(x)-u(x)\mid {\stackrel {k\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}0,~~x\in E}$

Факт равномерной сходимости последовательности ${\displaystyle \ {u_{k}}(x)}$ к функции ${\displaystyle \ u(x)}$ записывается: ${\displaystyle \ {u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x)}$

Сходимость

Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность ${\displaystyle \ {S_{n}}(x)}$ его частичных сумм сходится поточечно.

Ряд называется сходящимся равномерно, если последовательность ${\displaystyle \ {S_{n}}(x)}$ его частичных сумм сходится равномерно.

Абсолютная и условная сходимость

Ряд ${\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)}$ называется абсолютно сходящимся, если ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\mid {u_{k}}(x)\mid }$ сходится. Абсолютно сходящийся ряд сходится.

Если ряд ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)}$ сходится, а ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\mid {u_{k}}(x)\mid }$ расходится, то ряд ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)}$ называется сходящимся условно. Для таких рядов верна теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда.

Признаки равномерной сходимости

Теоремы о непрерывности

Рассматриваются комплекснозначные функции на множестве ${\displaystyle \ E}$

Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.

Последовательность ${\displaystyle \ {u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x)}$

${\displaystyle \ \forall k:}$ функция ${\displaystyle \ {u_{k}}(x)}$ непрерывна в точке ${\displaystyle \ x_{0}}$

Тогда ${\displaystyle \ u(x)}$ непрерывна в ${\displaystyle \ x_{0}}$ .

Ряд непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.

Ряд ${\displaystyle \ \sum _{k=0}^{\infty }{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x)}$

${\displaystyle \ \forall k:}$ функция ${\displaystyle \ {u_{k}}(x)}$ непрерывна в точке ${\displaystyle \ x_{0}}$

Тогда ${\displaystyle \ S(x)}$ непрерывна в ${\displaystyle \ x_{0}}$ .

Теоремы об интегрировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла.

${\displaystyle \ \forall k:}$ функция ${\displaystyle \ {u_{k}}(x)}$ непрерывна на отрезке ${\displaystyle \ [a,b]}$

${\displaystyle \ {u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x)}$ на ${\displaystyle \ [a,b]}$

Тогда числовая последовательность ${\displaystyle \left\{{\int \limits _{a}^{b}{{u_{k}}(x)dx}}\right\}}$ сходится к конечному пределу ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{u(x)dx}}$ .

Теорема о почленном интегрировании.

${\displaystyle \ \forall k:}$ функция ${\displaystyle \ {u_{k}}(x)}$ непрерывна на отрезке ${\displaystyle \ [a,b]}$

${\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x)}$ на ${\displaystyle \ [a,b]}$

Тогда числовой ряд ${\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }\int \limits _{a}^{b}{u_{k}}(x)dx}$ сходится и равен ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}S(x)dx}$ .

Теоремы о дифференцировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о дифференцировании под пределом.

${\displaystyle \ \forall k:}$ функция ${\displaystyle \ {u_{k}}(x)}$ дифференцируема (имеет непрерывную производную) на отрезке ${\displaystyle \ [a,b]}$

${\displaystyle \ \exists c\in [a,b]:~u_{k}(c)}$ сходится (к конечному пределу)

${\displaystyle \ {u'_{k}}(x)\rightrightarrows \omega (x)}$ на отрезке ${\displaystyle \ [a,b]}$

Тогда ${\displaystyle \ \exists u(x):~{u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x),~u(x)}$  — дифференцируема на ${\displaystyle \ [a,b]}$ , ${\displaystyle \ u'(x)=\omega (x)}$ на ${\displaystyle \ [a,b]}$

Теорема о почленном дифференцировании.

${\displaystyle \ \forall k:}$ функция ${\displaystyle \ {u_{k}}(x)}$ дифференцируема на отрезке ${\displaystyle \ [a,b]}$

${\displaystyle \ \exists c\in [a,b]:~\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(c)}$ сходится

${\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{u'_{k}}(x)}$ равномерно сходится на отрезке ${\displaystyle \ [a,b]}$

Тогда ${\displaystyle \ \exists S(x):~\sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x),~S(x)}$  — дифференцируема на ${\displaystyle \ [a,b]}$ , ${\displaystyle \ S'(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{u'_{k}}(x)}$ на ${\displaystyle \ [a,b]}$