1. Пусть для ряда
выполняется условие:
-
.
Преобразуем это неравенство к виду:
-
.
Поскольку всегда можно найти достаточно большое
такое, что:
-
,
то можно перейти к выражению:
-
.
Применив разложение функции
в ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, получим:
-
Вынесем первое слагаемое из-под экспоненты:
-
Теперь здесь применим разложение в ряд Маклорена для функции
:
Пренебрегая бесконечно малыми и, учитывая, что
, получаем:
-
Последнее, согласно признаку сравнения, означает, что рассматриваемый ряд
сходится и расходится одновременно с рядом
(ряд Дирихле), который сходится при
и расходится при
.
2. Пусть для ряда
выполняется условие:
-
Преобразуем это неравенство к виду:
-
.
Дважды применив разложение в ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, получим:
-
То есть согласно признаку сравнения, рассматриваемый ряд
расходится, поскольку расходится ряд
(гармонический ряд).
■