WikiSort.ru - Не сортированное

Некоторые значения частичных сумм

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{1}&=&1\\\\H_{2}&=&{\frac {3}{2}}&=&1{,}5\\\\H_{3}&=&{\frac {11}{6}}&\approx &1{,}833\\\\H_{4}&=&{\frac {25}{12}}&\approx &2{,}083\\\\H_{5}&=&{\frac {137}{60}}&\approx &2{,}283\end{matrix}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{6}&=&{\frac {49}{20}}&=&2{,}45\\\\H_{7}&=&{\frac {363}{140}}&\approx &2{,}593\\\\H_{8}&=&{\frac {761}{280}}&\approx &2{,}718\\\\H_{10^{3}}&\approx &7{,}484\\\\H_{10^{6}}&\approx &14{,}393\end{matrix}}}$

Формула Эйлера

В 1740 году Эйлером было получено асимптотическое выражение для суммы первых ${\displaystyle n}$ членов ряда:

${\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +\varepsilon _{n}}$ ,

где ${\displaystyle \gamma =0{,}5772...}$  — постоянная Эйлера — Маскерони, а ${\displaystyle \ln }$  — натуральный логарифм.

При ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ значение ${\displaystyle \varepsilon _{n}\rightarrow 0,}$ следовательно, для больших ${\displaystyle n}$

${\displaystyle H_{n}\approx \ln n+\gamma }$  — формула Эйлера для суммы первых ${\displaystyle n}$ членов гармонического ряда.

Пример использования формулы Эйлера

${\displaystyle n}$	${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$	${\displaystyle \ln n+\gamma }$	${\displaystyle \varepsilon _{n}}$ , (%)
10	2,93	2,88	1,7
25	3,82	3,80	0,5

Более точная асимптотическая формула для частичной суммы гармонического ряда:

${\displaystyle H_{n}\asymp \ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-{\frac {1}{252n^{6}}}\dots =\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k\,n^{2k}}},}$ где ${\displaystyle B_{2k}}$  — числа Бернулли.

Данный ряд расходится, однако ошибка вычислений по нему никогда не превышает половины первого отброшенного члена^{[источник не указан 175 дней]}.

Доказательство через предел последовательности частичных сумм^[3]

Рассмотрим последовательность ${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}.}$ Покажем, что эта последовательность не является фундаментальной, то есть, что ${\displaystyle \exists \varepsilon >0:\forall k\in \mathbb {N} \ \exists n>k,\exists p\in \mathbb {N} :\left\vert H_{n+p}-H_{n}\right\vert \geq \varepsilon .}$ Оценим разность${\displaystyle \left\vert H_{n+p}-H_{n}\right\vert ={\frac {1}{n+1}}+\cdots +{\frac {1}{n+p}}\geq {\frac {1}{n+p}}+\cdots +{\frac {1}{n+p}}={\frac {p}{n+p}}.}$ Пусть ${\displaystyle p\doteq n.}$ Тогда ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :\left\vert H_{2n}-H_{n}\right\vert \geq {\frac {1}{2}}.}$ Следовательно, данная последовательность не является фундаментальной и по критерию Коши расходится. Тогда по определению ряд также расходится.

Доказательство Орема

Доказательство расходимости можно построить, если сравнить гармонический ряд с другим расходящимся рядом, в котором знаменатели дополнены до степени двойки:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}&{}=1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{9}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}>1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{16}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}=1+\ {\frac {1}{2}}\ \ \ +\quad {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \ \quad \ +\quad \ \ {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \cdots .\end{aligned}}}$

Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).

Обобщённый гармонический ряд

Обобщённым гармоническим рядом (частный случай ряда Дирихле) называют ряд^[4]

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{\alpha }}}=1+{\frac {1}{2^{\alpha }}}+{\frac {1}{3^{\alpha }}}+{\frac {1}{4^{\alpha }}}+\cdots +{\frac {1}{k^{\alpha }}}+\cdots }$ .

Этот ряд расходится при ${\displaystyle \alpha \leqslant 1}$ и сходится при ${\displaystyle \alpha >1}$ ^[4].

Сумма обобщённого гармонического ряда порядка ${\displaystyle \alpha }$ равна значению дзета-функции Римана:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{\alpha }}}=\zeta (\alpha )}$

Для чётных это значение явно выражается через число пи — например, сумма ряда обратных квадратов ${\displaystyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ . Но уже для α=3 его значение (константа Апери) аналитически неизвестно.

Другой иллюстрацией расходимости гармонического ряда может служить соотношение ${\displaystyle \zeta (1+{\frac {1}{n}})\sim n.}$

Знакопеременный ряд

В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\;=\;1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots }$

сходится по признаку Лейбница. Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью. Его сумма равна натуральному логарифму 2:

${\displaystyle 1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots \;=\;\ln 2.}$

Эта формула — частный случай ряда Меркатора (англ.), ряда Тейлора для натурального логарифма.

Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;\;=\;\;1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,\cdots \;\;=\;\;{\frac {\pi }{4}}.}$

Это соотношение известно как ряд Лейбница.

Случайный гармонический ряд

В 2003 году изучены^[5][6] свойства случайного ряда

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},}$

где ${\displaystyle s_{n}}$  — независимые, одинаково распределённые случайные величины, которые принимают значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью ½. Показано, что этот ряд сходится с вероятностью 1, и сумма ряда есть случайная величина с интересными свойствами. Например, функция плотности вероятности, вычисленная в точках +2 или −2 имеет значение:

0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7 642…,

отличаясь от ⅛ на менее чем 10⁻⁴².

«Истончённый» гармонический ряд

Ряд Кемпнера (англ.)

Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшаяся сумма сходится к числу меньше 80^[7]. Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно делать заключение о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе ${\displaystyle n}$ всё меньше слагаемых берется для суммы «истончённого» ряда. То есть в конечном счёте отбрасывается подавляющее большинство членов образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.