Построение
Для построения пространств
используются
-пространства. Пространство
для пространства с мерой
и
— множество измеримых функций, определённых на этом пространстве, таких что:
-
.
Как следует из элементарных свойств интеграла Лебега и неравенства Минковского, пространство
линейно.
На линейном пространстве
вводится полунорма:
-
.
Неотрицательность и однородность следуют напрямую из свойств интеграла Лебега, а неравенство Минковского является неравенством треугольника для этой полунормы[1]
Далее, на
вводится отношение эквивалентности:
, если
почти всюду. Это отношение разбивает пространство
на непересекающиеся классы эквивалентности, причём полунормы любых двух представителей одного и того же класса совпадают. На построенном факторпространстве (то есть семействе классов эквивалентности)
можно ввести норму, равную полунорме любого представителя данного класса. По определению, все аксиомы полунормы сохранятся, и вдобавок в силу изложенного построения оказывается выполненной и положительная определённость.
Факторпространство
с построенной на нём нормой, и называется пространством
или просто
.
Чаще всего данное построение имеют в виду, но не упоминают явно, а элементами
называют не классы эквивалентности функций, а сами функции, определённые «с точностью до меры нуль».
При
не образуют нормированного пространства, так как не выполняется неравенство треугольника[2], однако образуют метрические пространства. В этих пространствах нет нетривиальных линейных непрерывных операторов.
Пространство L²
В случае
норма порождается скалярным произведением. Таким образом, вместе с понятием «длины» здесь имеет смысл и понятие «угла», а следовательно и смежные понятия, такие как ортогональность, проекция.
Скалярное произведение на пространстве
вводится следующим образом:
-
,
в случае, если рассматриваемые функции комплекснозначные, или:
-
,
если они вещественные. Тогда, очевидно:
-
,
то есть норма порождается скалярным произведением. В виду полноты любого
следует, что
— гильбертово.
Пространство L∞
Пространство
строится из пространства
измеримых функций, ограниченных почти всюду, отождествлением между собой функций, различающиеся лишь на множестве меры нуль, и, положив по определению:
-
, где
— существенный супремум функции.
— банахово пространство.
Метрика, порождаемая нормой
, называется равномерной. Также называется и сходимость, порождённая такой метрикой:
-
в
, если
при
.
Свойства
- Сходимость функций почти всюду не влечёт сходимость в пространстве
. Пусть
при
и
при
,
. Тогда
почти всюду. Но
. Обратное также неверно.
- Если
при
, то существует подпоследовательность
, такая что
почти всюду.
-
функции на числовой прямой могут быть приближены гладкими функциями. Пусть
— подмножество
, состоящее из бесконечно гладких функций. Тогда
всюду плотно в
.
-
— сепарабельно при
.
- Если
— конечная мера, например, вероятность, и
, то
. В частности,
, то есть случайная величина с конечным вторым моментом имеет конечный первый момент.
Сопряжённые пространства
Для пространств
, сопряжённое к
(пространств линейных функционалов на
) имеет место следующее свойство: если
, то
изоморфно
(
), где
. Любой линейный функционал на
имеет вид:
-
где
.
В силу симметрии уравнения
, само пространство
дуально (с точностью до изоморфизма) к
, а следовательно:
-
Этот результат справедлив и для случая
, то есть
. Однако
и, в частности,
.
Пространства ℓp
Пусть
, где
— счётная мера на
, то есть
. Тогда если
, то пространство
представляет собой семейство последовательностей
, таких что:
-
.
Соответственно, норма на этом пространстве задаётся
-
.
Получившееся нормированное пространство обозначается
.
Если
, то рассматривается пространство ограниченных последовательностей с нормой:
-
.
Получившееся пространство называется
, оно является примером несепарабельного пространства.
Как и в общем случае, положив
, получается гильбертово пространство
, чья норма порождена скалярным произведением:
-
,
если последовательности комплекснозначные, и:
-
если они вещественны.
Пространство, сопряжённое с
, где
изоморфно
,
. Для
. Однако
.
Примечания
- ↑ Введённая таким образом полунорма не является нормой, ибо если
почти всюду, то
, что противоречит требованиям к норме. Чтобы превратить пространство с полунормой в пространство с нормой, необходимо «отождествить» функции, различающиеся между собой лишь на множестве меры нуль.
- ↑ Точнее, выполняется обратное неравенство треугольника — при
: