Функциями Уолша называется семейство функций, образующих ортогональную систему, принимающих значения только +1 и −1 на всей области определения.
В принципе, функции Уолша могут быть представлены в непрерывной форме, но чаще их определяют как дискретные последовательности из элементов. Группа из функций Уолша образует матрицу Адамара.
Функции Уолша получили широкое распространение в радиосвязи, где с их помощью осуществляется кодовое разделение каналов (CDMA), например, в таких стандартах сотовой связи, как IS-95, CDMA2000 или UMTS.
Система функций Уолша является ортонормированным базисом и, как следствие, позволяет раскладывать сигналы произвольной формы в обобщённый ряд Фурье.
Обобщением функций Уолша на случай более чем двух значений являются функции Виленкина — Крестенсона.
Пусть функция Уолша определена на интервале [0, T]; за пределами этого интервала функция периодически повторяется. Введём безразмерное время . Тогда функция Уолша под номером k обозначается как . Нумерация функций зависит от метода упорядочения функций. Существует упорядочение по Уолшу — в этом случае функции обозначаются так, как описано выше. Также распространены упорядочения по Пэли ( ) и по Адамару ( ).
Относительно момента функции Уолша можно разделить на чётные и нечётные. Они обозначаются как и соответственно. Эти функции аналогичны тригонометрическим синусам и косинусам. Связь между этими функциями выражается следующим образом:
Существует несколько способов формирования. Рассмотрим один из них, наиболее наглядный: матрица Адамара может быть сформирована рекурсивным методом с помощью построения блочных матриц по следующей общей формуле:
Так может быть сформирована матрица Адамара длины :
Каждая строка матрицы Адамара и является функцией Уолша.
В данном случае функции упорядочены по Адамару. Номер функции по Уолшу вычисляется из номера функции по Адамару путём перестановки битов в двоичной записи номера в обратном порядке с последующим преобразованием результата из кода Грея.
Номер по Адамару | Двоичная форма | Перестановка бит | Преобразование из кода Грея | Номер по Уолшу |
---|---|---|---|---|
0 | 00 | 00 | 00 | 0 |
1 | 01 | 10 | 11 | 3 |
2 | 10 | 01 | 01 | 1 |
3 | 11 | 11 | 10 | 2 |
В итоге получается матрица Уолша, в которой функции упорядочены по Уолшу:
Скалярное произведение двух разных функций Уолша равно нулю:
Допустим, что n = 1, k = 3 (см. выше). Тогда
Произведение двух функций Уолша даёт функцию Уолша:
где — сложение по модулю 2 номеров в двоичной системе.
Допустим, что n = 1, k = 3. Тогда
В результате умножения получим:
Является частным случаем обобщённого преобразования Фурье, в котором базисом выступает система функций Уолша.
Обобщённый ряд Фурье представляется формулой
где это одна из базисных функций, а — коэффициент.
Разложение сигнала по функциям Уолша имеет вид
В дискретной форме формула запишется следующим образом:
Определить коэффициенты можно, осуществив скалярное произведение раскладываемого сигнала на соответствующую базисную функцию Уолша:
Следует учитывать периодический характер функций Уолша.
Существует также быстрое преобразование Уолша[1]. Оно является в значительной степени более эффективным, чем преобразование Уолша — Адамара[2]. Кроме того, для частного случая с двумя переменными функции Уолша обобщены как поверхности[3]. Также существуют восемь аналогичных функциям Уолша базисов ортогональных бинарных функций[4], отличающихся нерегулярной структурой, которые также обобщены на случай функций двух переменных. Для каждого из восьми базисов доказано представление «ступенчатых» функций в виде конечной суммы бинарных функций, взвешиваемых с соответствующими коэффициентами[5].
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .