WikiSort.ru - Не сортированное

Бесконечный ряд 1 − 1 + 1 − 1 + …, или

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}}$ ,

Иногда называемый рядом Гранди в честь итальянского математика, философа и священника Луиджи Гвидо Гранди (англ.). В обычном смысле, этот ряд является расходящимся. С другой стороны, его сумма по Чезаро равна 1/2.

Эвристические соображения

Один из очевидных методов нахождения суммы ряда

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + … -

воспринимать его как телескопический ряд и попарно сгруппировать члены:

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.

С другой стороны, похожим способом можно получить другой ответ:

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.

Таким образом, различной расстановкой скобок в ряде Гранди, можно получить в качестве суммы и 0, и 1. (Вариации этой идеи, называемые мошенничеством Эйленберга-Мазура, используются в теории узлов и алгебре).

Если считать ряд Гранди расходящейся геометрической прогрессией, то, используя те же методы что и при работе со сходящимися геометрическими прогрессиями, можно получить третье значение, 1/2:

Обозначим ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}}$ как ${\displaystyle S_{1}}$

${\displaystyle S_{1}=1-1+1-1+...}$

${\displaystyle 1-S_{1}=1-(1-1+1-...)=1-1+1-1+...=S_{1}}$

${\displaystyle 1-S_{1}=S_{1}}$

${\displaystyle S_{1}={\frac {1}{2}}}$ .

В предыдущих рассуждениях не учитывается, что в действительности означает «сумма ряда». Поскольку важно уметь брать части ряда в скобки, а также производить арифметические действия с рядами, можно прийти к двум выводам:

• Ряд 1 − 1 + 1 − 1 + … не имеет суммы.^[1][2]
• … но его сумма должна быть равна 1/2.^[2]

На самом деле, оба утверждения могут быть точно сформулированны и формально доказаны, но только с использованием четко определенных математических принципов, которые возникли лишь в XIX веке. После того, как в конце XVII века в Европе были заложены основы анализа, и до прихода современной строгости, разница между ответами давала пищу для «бесконечных» и «яростных» споров между математиками.^[3][4]

Ранние идеи

Расходимость

В современной математике сумма ряда определяется как предел последовательности частичных сумм, если он существует. Последовательность частичных сумм ряда Гранди, 1, 0, 1, 0, … не стремится ни к одному числу (хотя и обладает двумя предельными точками, 0 и 1). Таким образом, ряд Гранди расходится.

Можно показать, что применение таких интуитивно безвредных операций, как перестановка членов, к рядам, не являющимся абсолютно сходящимся, может привести к изменению суммы. Несложно увидеть, как можно переставить члены ряда Гранди так, чтобы получить любое целое число, а не только 0 и 1.

• E. W. Hobson, The theory of functions of a real variable and the theory of Fourier’s series (Cambridge University Press, 1907), section 331. The University of Michigan Historical Mathematics Collection

• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis, 4th edition, reprinted (Cambridge University Press, 1962), section 2.1.

Образование

en:Grandi's series in education

См. также

• 1 − 2 + 3 − 4 + …

Примечания

Ссылки