WikiSort.ru - Не сортированное

Обозначения

Обозначение векторов базиса может быть в принципе произвольным. Часто используют какую-нибудь букву с индексом (числовым или совпадающим с названием координатной оси), например:

${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2}}$

или

${\displaystyle {\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y}}$

— типичные обозначения базиса двумерного пространства (плоскости),

${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}}$

или

${\displaystyle {\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z}}$

— трёхмерного пространства. Для трёхмерного пространства часто по традиции используется и обозначение

${\displaystyle {\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}.}$

Представление какого-то конкретного (любого) вектора ${\displaystyle {\vec {a}}}$ пространства в виде линейной комбинации векторов базиса (суммы базисных векторов числовыми коэффициентами), например

${\displaystyle {\vec {a}}=a_{x}{\vec {e}}_{x}+a_{y}{\vec {e}}_{y}+a_{z}{\vec {e}}_{z}}$

или

${\displaystyle {\vec {a}}=a_{1}{\vec {e}}_{1}+a_{2}{\vec {e}}_{2}+a_{3}{\vec {e}}_{3}}$

или, употребляя знак суммы ${\displaystyle \Sigma }$ :

${\displaystyle {\vec {a}}=\sum _{i=1}^{3}a_{i}{\vec {e}}_{i}}$

называется разложением этого вектора по этому базису.

Числовые коэффициенты ${\displaystyle (a_{x},a_{y},a_{z})}$ называются коэффициентами разложения, а их набор в целом — представлением (или представителем) вектора ${\displaystyle {\vec {a}}}$ в базисе ${\displaystyle {\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z}.}$ (Разложение вектора по конкретному базису единственно; разложение одного и того же вектора по разным базисам — разное, то есть получается разный набор конкретных чисел, однако в результате при суммировании — как показано выше — дают один и тот же вектор).

Примеры

• Векторы ${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}}$ пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ образуют базис тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов, не равен 0: ${\displaystyle \det\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\}\neq 0}$ .
• В пространстве всех многочленов над полем один из базисов составляют степенные функции: ${\displaystyle 1,x,x^{2},\dots ,x^{n},\dots }$ .
• Понятие базиса используется в бесконечномерном случае, например вещественные числа образуют линейное пространство над рациональными числами и оно имеет континуальный базис Гамеля и, соответственно, континуальную размерность.

Базис Гамеля и разрывная линейная функция

Базис Гамеля может быть использован для построения разрывной вещественной функции, удовлетворяющей условию ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$ . Пусть ${\displaystyle \{r_{\alpha }\}}$  — базис Гамеля множества действительных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ над полем рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ . Тогда для каждого ${\displaystyle x=k_{\alpha _{1}}r_{\alpha _{1}}+\cdots +k_{\alpha _{n}}r_{\alpha _{n}}}$ (${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Q} }$ ) положим ${\displaystyle f(x)=k_{\alpha _{1}}+\cdots +k_{\alpha _{n}}}$ . Функция ${\displaystyle f(x)}$ линейна по построению, однако не может быть непрерывной, так как принимает только рациональные значения.

Пример: базис Шаудера для пространства непрерывных функций ${\displaystyle C[a,b]}$

${\displaystyle C[a,b]}$  — банахово пространство с нормой ${\displaystyle \|f\|=\max _{x\in [a,b]}|f(x)|}$ . Для разложений в ряды Фурье и обобщенные ряды Фурье по ортонормированным системам функций легко доказывается сходимость в Гильбертовом пространстве ${\displaystyle L^{2}[a,b]}$ , но не в ${\displaystyle C[a,b]}$ . Шаудер сконструировал базис Шаудера ${\displaystyle \{e_{n}\}}$ для ${\displaystyle C[a,b]}$ . Пусть ${\displaystyle \{x_{0},x_{1},\dots ,x_{n},\dots \}}$  — плотное счетное множество точек на ${\displaystyle [a,b]}$ , ${\displaystyle x_{0}=a}$ , ${\displaystyle x_{1}=b}$ , остальные точки могут быть, например, всеми рациональными точками отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ , упорядоченными произвольным образом. Положим: ${\displaystyle e_{0}=1}$ , ${\displaystyle e_{1}=(x-a)/(b-a)}$  — линейная функция. Определим кусочно-линейную функцию ${\displaystyle e_{n}(x)}$ так, чтобы ${\displaystyle e_{n}(x_{i})=0}$ при ${\displaystyle i=0,1,\dots ,n-1}$ и ${\displaystyle e_{n}(x_{n})=1}$ . Точки ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-1}}$ разбивают ${\displaystyle [a,b]}$ на ${\displaystyle n-1}$ отрезок. Точка ${\displaystyle x_{n}}$ лежит строго внутри одного из них. Пусть это ${\displaystyle I_{n}=[x_{j},x_{k}]}$ для каких-то ${\displaystyle j,k\in \{0,\dots ,n-1\}}$ (порядок нумерации чисел ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\dots }$ не соответствует их величине).

Положим:

${\displaystyle e_{n}(x)=0}$ вне отрезка ${\displaystyle I_{n}=[x_{j},x_{k}],}$

${\displaystyle e_{n}(x)={\frac {x-x_{j}}{x_{n}-x_{j}}}}$ при ${\displaystyle x\in [x_{j},x_{n}],}$

${\displaystyle e_{n}(x)={\frac {x_{k}-x}{x_{k}-x_{n}}}}$ при ${\displaystyle x\in [x_{n},x_{k}].}$

Полученная система кусочно-линейных «шапочек» и есть искомый базис Шаудера. Коэффициенты разложения произвольной функции ${\displaystyle f(x)\in C[a,b]}$ по этому базису выражаются по явным рекуррентным формулам через последовательность значений ${\displaystyle f(x_{i})}$ . Частичная сумма первых ${\displaystyle n+1}$ членов ряда

${\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{i=0}^{n}f_{i}e_{i}(x),}$

является в данном случае кусочно-линейной аппроксимацией ${\displaystyle f(x)}$ с узлами в точках ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ ; формула для коэффициентов ${\displaystyle f_{n}=f(x_{n})-L_{n-1}(x_{n});\;\;f_{0}=f(a)}$ (см. Рис.)

Проблема базиса

Базисы Шаудера построены для большинства известных примеров банаховых пространств, однако проблема Банаха — Шаудера о существовании базиса Шаудера в каждом сепарабельном банаховом пространстве не поддавалась решению более 50 лет и лишь в 1972 году была решена отрицательно: существуют сепарабельные банаховы пространства без базиса Шаудера (контрпримеры Энфло, Шанковского, Дэви и Фигеля).