WikiSort.ru - Не сортированное

Интегральный признак Коши́ — Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши — Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на ${\displaystyle [1,\infty )}$ , последний часто может быть найден в явном виде.

Формулировка теоремы

Доказательство

${\displaystyle \forall b>1}$ ${\displaystyle f(x)}$ монотонна на ${\displaystyle [1,b]}$

Следовательно ${\displaystyle \int \limits _{1}^{b}f(x)dx}$ сходится

${\displaystyle \forall x\in [n,n+1]}$ ${\displaystyle f(n)\geqslant f(x)\geqslant f(n+1)}$

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \int \limits _{n}^{n+1}f(n)dx=f(n)\geqslant \int \limits _{n}^{n+1}f(x)dx\geqslant f(n+1)}$

${\displaystyle S_{n}=f(1)+...+f(n)\geqslant \int \limits _{1}^{n+1}f(x)dx\geqslant S_{n+1}-f(1)}$

${\displaystyle S_{n}}$ нестрого монотонно возрастает

Обозначим ${\displaystyle F(x)=\int \limits _{1}^{x}f(t)dt}$

Пределы ${\displaystyle S_{n}}$ и ${\displaystyle F(x)}$  — конечные числа, следовательно ${\displaystyle S_{n}}$ и ${\displaystyle F(x)}$ ограничены (идея)

Пусть сходится интеграл ${\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }f(x)dx}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle F(x)}$ ограничена ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle S_{n}}$ ограничена ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \exists \lim \limits _{n\to \infty }S_{n}}$

Пусть теперь сходится сумма ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \forall n}$ ${\displaystyle \exists S\geqslant S_{n}}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \forall n}$ ${\displaystyle S\geqslant \int \limits _{1}^{n+1}f(x)dx\geqslant \int \limits _{1}^{b}f(x)dx}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle F(x)}$ ограничена ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \exists \lim \limits _{b\to +\infty }\int \limits _{1}^{b}f(x)dx}$ , так как если функция ${\displaystyle f(x)}$ неотрицательна на некотором полуинтервале ${\displaystyle [a,b)}$ , то для сходимости интеграла ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx}$ необходимо и достаточно, чтобы все интегралы ${\displaystyle \int \limits _{a}^{c}f(x)dx}$ , где ${\displaystyle c\in [a,b)}$ были ограничены. Теорема доказана.

Примеры

• ${\displaystyle \sum {\frac {1}{n}}}$ расходится, так как ${\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}dx=\ln x|_{1}^{\infty }=\infty }$ .
• ${\displaystyle \sum {\frac {1}{n^{2}}}}$ сходится, так как ${\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}dx=-\left.{\frac {1}{x}}\right|_{1}^{\infty }=1}$ .

Оценка остатка ряда

Интегральный признак Коши позволяет оценить остаток ${\displaystyle r_{n}}$ знакоположительного ряда. Из полученного в доказательстве выражения

${\displaystyle S_{n}-a_{1}\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx\leqslant S_{n-1}}$

с помощью несложных преобразований получаем:

${\displaystyle \int \limits _{n+1}^{\infty }f(x)\,dx\leqslant r_{n}\leqslant \int \limits _{n}^{\infty }f(x)\,dx\leqslant a_{n}+\int \limits _{n+1}^{\infty }f(x)\,dx}$ .

См. также

• Признак Абеля
• Признак сходимости д’Аламбера
• Радикальный признак Коши
• Интеграл Коши

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.