WikiSort.ru - Не сортированное

Интегра́л Ри́мана — одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.

Неформальное геометрическое описание

Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс).

Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из некоторого количества вертикальных прямоугольников, основания которых составляют вместе отрезок интегрирования и получаются при разбиении отрезка (см. рисунки) на соответствующее количество маленьких отрезков.

Площадь S такой фигуры при конкретном разбиении на отрезки длинами ${\displaystyle \Delta x_{i}}$ будет интегральной суммой:

${\displaystyle S=\sum _{i}f(x_{i})\Delta x_{i}.}$

Если существует предел, к которому сходится площадь S (интегральная сумма) для каждого разбиения - при хорошем «размельчении» разбиения (когда наибольшее из ${\displaystyle \Delta x_{i}}$ стремится к нулю), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.

Определения

Свойства

1. Невырожденность: ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}1\,dx=b-a}$ .
2. Положительность: Если интегрируемая функция ${\displaystyle f}$ неотрицательна, то её интеграл на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ также неотрицателен.
3. Линейность: Если функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ интегрируемы, и ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$ , то функция ${\displaystyle \alpha f+\beta g}$ тоже интегрируема, и ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx}$ .
4. Непрерывность: Если интегрируемые функции ${\displaystyle f_{i}}$ равномерно сходятся на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ к функции ${\displaystyle f}$ , то ${\displaystyle f}$ интегрируема, и ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }\int \limits _{a}^{b}f_{i}(x)\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}$ . (Последняя формула может быть получена уже как формальное следствие свойств 1-3 и интегрируемости предельной функции).
5. Аддитивность при разбиениях отрезка: Пусть ${\displaystyle a<b<c}$ . Функция ${\displaystyle f}$ интегрируема на отрезке ${\displaystyle [a,c]}$ , тогда и только тогда, когда она интегрируема на каждом из отрезков ${\displaystyle [a,b]}$ и ${\displaystyle [b,c]}$ , при этом ${\displaystyle \int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx}$ .
6. Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману (следствие свойств 1-5). Разрывные функции могут быть интегрируемы, но могут и не быть; примером функции, не интегрируемой по Риману, является всюду разрывная функция Дирихле. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману: функция интегрируема по Риману на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ , тогда и только тогда, когда на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет нулевую меру (то есть может быть покрыто счётным семейством интервалов со сколь угодно малой суммарной длиной).
7. Если функция ${\displaystyle F}$ является первообразной непрерывной функции ${\displaystyle f}$ , то интеграл функции ${\displaystyle f}$ на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен ${\displaystyle F(b)-F(a)}$ . (Это — общее свойство любых интегралов, удовлетворяющих свойствам 1-5, а не только интеграла Римана). Непрерывная на отрезке функция ${\displaystyle f}$ всегда имеет первообразную, и каждая первообразная имеет вид: ${\displaystyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)dt+C}$ , где ${\displaystyle C}$  — произвольная константа.

Необходимые и достаточные условия существования интеграла Римана

Для того, чтобы функция ${\displaystyle f(x)}$ была интегрируемой в сегменте ${\displaystyle [a,b]}$ , необходимо и достаточно, чтобы сумма ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\omega _{i}\Delta _{i}}$ стремилась к нулю вместе с диаметром разбиения ${\displaystyle d}$ .

Здесь ${\displaystyle \omega _{i}}$ — колебание функции ${\displaystyle f(x)}$ в сегменте ${\displaystyle \Delta _{i}=[x_{i-1},x_{i}]}$ ,

колебание ${\displaystyle \omega }$ функции ${\displaystyle f}$ на множестве ${\displaystyle E}$ — разность ${\displaystyle \sup _{E}f(x)-\inf _{E}f(x)}$ ,

диаметр разбиения ${\displaystyle d=\sup _{i}(x_{i}-x_{i-1})}$ ^[1].

История

Такое определение интеграла дано Коши^[2], но применялось только для непрерывных функций.

Риман в 1854 году (опубликовано в 1868 году^[3]:101-103, на русском языке впервые в 1914 году^[4][5]) дал это же определение без предположения непрерывности.

См. также

• Интеграл Лебега
• Интеграл Даниэля
• Кратный интеграл Римана
• Интеграл Стилтьеса
• Несобственный интеграл
• Интеграл Юнга

Примечания

Литература

• В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Математический анализ. Начальный курс. — 2-е, переработанное. — Издательство Московского Университета, 1985. — Т. 1. — 660 с.

Ссылки

• Таблицы неопределенных и определенных интегралов — EqWorld: Мир математических уравнений.
• Строгое определение интеграла Римана.

Для улучшения этой статьи желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники.