WikiSort.ru - Не сортированное

В общей алгебре замыкание множества относительно заданного набора алгебраических операций — минимально возможное расширение заданного множества, в котором любое применение этих операций к элементам такого расширения не выходит за его пределы.

Примеры:

• Замыканием множества ${\displaystyle \{1\}}$ относительно операции сложения будет множество всех натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ,
• Замыкание множества ${\displaystyle \{0\}}$ относительно умножения совпадает с ним самим.

Множество, совпадающее со своим замыканием, называется алгебраически замкнутым^{[источник не указан 195 дней]} (относительно заданного набора операций).

Примеры:

• Подгруппа замкнута относительно групповой операции.
• Подмножество натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ в множестве целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ замкнуто относительно операции сложения, но не является замкнутым относительно операции вычитания.

Формально, пусть ${\displaystyle M}$  — подмножество носителя ${\displaystyle A}$ некоторой алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {A}}=\langle A,\Sigma \rangle }$ , тогда замыканием множества ${\displaystyle M}$ относительно сигнатуры ${\displaystyle \Sigma }$ называется минимальная подалгебра ${\displaystyle \langle A_{0},\Sigma \rangle \subseteq {\mathfrak {A}}}$ , содержащая ${\displaystyle M}$ (${\displaystyle M\subseteq A_{0}}$ ).

См. также

• Алгебраическое замыкание поля
• Замыкание отношения
• Оператор замыкания

Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 7 июля 2014 года.