1. Пусть выполняется неравенство:
-
Домножим обе части этого неравенства на
и проинтегрируем, используя подстановку
:
-
отсюда
-
так как
, вычитаемое в последних скобках положительно. Поэтому, разделив неравенство на
, получим:
-
Прибавив к обеим частям интеграл
, получим
-
Учитывая, что
, при
-
Поскольку с возрастанием
и интеграл возрастает, то для него существует конечный предел при
:
-
Так как этот интеграл сходится, то согласно интегральному признаку Коши — Маклорена ряд
также сходится.
2. Пусть теперь имеет место неравенство:
-
Домножив обе части этого неравенства на
и проинтегрировав, используя в левой части подстановку
, получим:
-
Прибавим к обеим частям интеграл
:
-
Поскольку
, то
. Определим теперь последовательность
следующим образом:
-
Используя эту последовательность последнее неравенство можно записать в виде:
-
Суммируем этот интеграл по
:
-
то есть этот интеграл неограничен при
. Поэтому:
-
Так как этот интеграл расходится, то согласно интегральному признаку Коши — Маклорена ряд
также расходится.
■