WikiSort.ru - Не сортированное

Линейная комбинация рядов

Если ряды ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ и ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }b_{k}}$ сходятся, то сходится и ряд ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }(\alpha a_{k}+\beta b_{k})}$ (α, β — постоянные), при этом

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }(\alpha a_{k}+\beta b_{k})=\alpha \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}+\beta \sum _{k=1}^{\infty }b_{k}}$

Группировка членов ряда

Сгруппируем слагаемые ряда ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ , объединив без изменения порядка следования по нескольку (конечное число) членов ряда. Получим некоторый новый ряд ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }b_{k}}$ . Раскрытие скобок в ряде в общем случае недопустимо, однако: если после раскрытия скобок получается сходящийся ряд, то раскрытие скобок возможно; если в каждой скобке все слагаемые имеют один и тот же знак, то раскрытие скобок не нарушает сходимости и не изменяет величину суммы.

Перемножение рядов

Пусть имеются два ряда ${\displaystyle u_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}}$ и ${\displaystyle v_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }v_{k}}$ . Тогда их можно перемножить, используя правило Коши: ${\displaystyle w_{n}=\sum _{k=0}^{n}{u_{k}v_{n-k}}}$ . В случае, если ряды ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }u_{k}}$ и ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }v_{k}}$ имеют неотрицательные члены и один из них сходится абсолютно,а другой сходится, то и полученный ряд ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }w_{k}}$ будет сходящимся (по теореме Мертенса).

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Перестановка членов ряда

• Если ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и исходный ряд (теорема о перестановке ряда).
• Если ряд сходится условно, то для любого наперёд заданного действительного числа (а также для ${\displaystyle +\infty }$ , ${\displaystyle -\infty }$ ) можно так переставить члены этого ряда, что преобразованный ряд сходится к этому числу (расходится к ${\displaystyle +\infty }$ , ${\displaystyle -\infty }$ ), либо предел последовательности частичных сумм не будет существовать (теорема Римана).