Кривая Пеано — общее название для параметрических кривых, образ которых содержит квадрат (или, в более общем смысле, открытые области пространства). Другое название — заполняющая пространство кривая.
Названа в честь Джузеппе Пеано (1858—1932), первооткрывателя такого рода кривых, в частном смысле кривой Пеано называется конкретная кривая, которую нашёл Пеано.
Интуитивно, непрерывная кривая в размерностях 2 или 3 (или выше) может пониматься как путь, проходимый непрерывно движущейся точкой. Чтобы исключить неотъемлемую неопределённость этого понимания, Жордан в 1887 предложил следующее определение, которое с тех пор было принято как точное определение непрерывной кривой:
В наиболее общей форме область значений такого отображения может лежать в произвольном топологическом пространстве, но в большинстве изучаемых случаев область значений лежит в евклидовом пространстве, таком как двумерная плоскость (плоская кривая) или трёхмерное пространство (пространственная кривая).
Иногда кривая отождествляется с областью значений отображения (множество всех возможных значений отображения), а не собственно с функцией. Можно также определить кривую без конечных точек как непрерывную функцию на вещественной прямой (или на открытом интервале (0, 1)).
В 1890 Пеано открыл непрерывную кривую, ныне называемую кривой Пеано, которая проходит через любую точку единичного квадрата[1]. Его целью было построение непрерывного отображения из единичного отрезка в единичный квадрат. Заняться проблемой Пеано побудил более ранний неожиданный результат Георга Кантора о том, что множество точек единичного интервала имеет ту же мощность, что и множество точек любого конечномерного многообразия, в частности, единичного квадрата. Задача, которую решал Пеано, заключалась в вопросе — может ли быть такое отображение непрерывным, то есть может ли кривая заполнить пространство. Решение Пеано не устанавливает непрерывное взаимнооднозначное отображение между единичным интервалом и единичным квадратом, и более того, такого отображения не существует (см. ниже).
Общепринятым было связывать туманное понятие толщины и одномерности с кривой. Все обычно встречающиеся кривые были кусочно дифференцируемые (то есть имеющие кусочно непрерывные производные), а такие кривые не могут заполнить весь единичный квадрат. Таким образом, заполняющая пространство кривая Пеано воспринималась противоречащей здравому смыслу.
Из примера Пеано легко вывести непрерывные кривые, заполняющие n-мерный гиперкуб (для любого положительного целого n). Легко было также распространить пример Пеано на кривые без начальной и конечной точки, и эти кривые заполняют всё n-мерное евклидово пространство (где n равно 2, 3 или любое другое положительное целое число).
Большинство хорошо известных заполняющих пространство кривых строятся итеративно как предел последовательности кусочно линейных непрерывных кривых, которые на каждом шаге приближаются к заполняющей пространство кривой.
Революционная статья Пеано не содержала никаких иллюстраций построения, которое было определено в терминах троичных расширений и зеркального отражения. Однако графическое построение для него было ясным — он сделал орнамент, отражающий построение кривой на своём доме в Турине. В конце статьи Пеано заметил, что техника может быть распространена на другие нечётные базисы, не только на базис 3. Его выбор избегать любой графической визуализации был, без сомнения, вызван желанием привести обоснованное, совершенно строгое доказательство, не опирающееся никак на рисунки. В то время (начало исследований в общей топологии) графические доводы часто включались в доказательство, но зачастую они служили помехой для понимания противоречащих здравому смыслу результатов.
Годом позже Давид Гильберт опубликовал в том же журнале другой вариант построения Пеано[2]. Статья Гильберта была первой статьёй, в которой было помещен рисунок, помогающий представить технику построения. По существу, это был тот же рисунок, что и приведённый здесь. Аналитическая форма кривой Гильберта, однако, существенно сложнее, чем у Пеано.
Винер указал на то, что заполняющая пространство кривая могла бы быть использована для сведения интегрирования по Лебегу в высоких размерностях к интегрированию по Лебегу на отрезке.
Аналитическое построение[3]. Рассмотрим функции и , определенные на отрезке следующим образом. Пусть разложение в троичной системе счисления имеет вид (каждое из равно 0, 1 или 2). Тогда мы определим как число, имеющее следующее разложение в троичной системе:
, если четно, и , если нечетно
, если четно, если нечетно
Аналогичным образом определим функцию в троичной системе счисления:
, если четно, и , если нечетно
, если четно
, если нечетно
Рассмотрим теперь отображение: . Можно доказать, что:
1. Функции и корректно определены (то есть в числах, допускающих 2 представления в троичной системе счисления, значения и окажутся не зависящими от выбора представления).
2. Функции и непрерывны на .
3. Система уравнений и имеет не менее 1 и не более 4 решений при любых и , лежащих на отрезке .
Тем самым, отображение с координатными функциями и на плоскости непрерывно переводит отрезок в квадрат .
Геометрическое построение. Рассмотрим единичный отрезок и единичный квадрат. На 1-м шаге построения разделим квадрат средними линиями на 4 равных квадрата, а отрезок — на 4 равные части. Получим квадраты и отрезки 1-го уровня. На каждом последующем шаге делим квадраты и отрезки предыдущего уровня на 4 части — получаем квадратики и отрезочки следующего уровня. Имеем 4 квадратика 1-го уровня, 16 квадратиков 2-го уровня и т. д.; аналогично с отрезочками. Зададим порядок обхода квадратиков каждого уровня. Для 1-го, 2-го, …, 6-го уровня порядок обхода показан на рисунке. Порядок обхода определяет взаимно-однозначное соответствие между множеством квадратиков n-го уровня и множеством отрезочков n-го уровня.
Пусть теперь x — произвольная точка исходного единичного отрезка. Пусть k1 — номер отрезочка 1-го уровня, которому принадлежит точка x, k2 — номер отрезочка 2-го уровня, которому принадлежит точка x и т. д. Рассмотрим квадратики Q1, Q2, … с теми же номерами k1, k2, …. Порядок обхода квадратиков устроен таким образом, что (внимание!) квадратики Q1, Q2, … образуют вложенную систему. По теореме о вложенной (стягивающейся) системе отрезков, квадратики Q1, Q2, … имеют единственную общую точку y.
Если x принадлежит одновременно 2-м отрезочкам, то эти отрезочки соответствуют 2-м квадратикам с общей стороной — так устроен порядок обхода. Назовем такие квадратики смежными. В этом случае вместо квадратиков Q1, Q2, … рассмотрим прямоугольники — объединения смежных квадратиков. И тогда y — единственная общая точка вложенной системы указанных прямоугольников.
Аналогичное рассуждение показывает, что каждая точка y квадрата будет соответствовать некоторой точке x единичного отрезка.
Построенное отображение x → y определяет искомую кривую Пеано. Непрерывность отображения следует из того, что близким отрезочкам соответствуют близкие квадратики. Каждая точка y имеет:
Кривые, задающие порядок обхода квадратов, являются последовательными приближениями к кривой Пеано. Кривая Пеано является пределом этих кривых.
Если — континуум, то эквивалентны условия:
|
Непустое хаусдорфово топологическое пространство является образом единичного интервала тогда и только тогда, когда оно компактно, связно, локально связно и для него выполняется вторая аксиома счётности. |
Space-filling curves на Викискладе |
Аплеты Java на сайте Cut-the-Knot:
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .