WikiSort.ru - Не сортированное

Внешняя мера

Для произвольного подмножества ${\displaystyle E}$ числовой прямой можно найти сколь угодно много различных систем из конечного или счётного числа интервалов, объединение которых содержит множество ${\displaystyle E}$ . Назовём такие системы покрытиями. Так как сумма длин интервалов, составляющих любое покрытие, есть величина неотрицательная, она ограничена снизу, и, значит, множество длин всех покрытий имеет точную нижнюю грань. Эта грань, зависящая только от множества ${\displaystyle E}$ , и называется внешней мерой:

${\displaystyle m^{*}E=\inf \left\{\sum _{i}\Delta _{i}\right\}.}$

Варианты обозначения внешней меры:

${\displaystyle m^{*}E=\varphi (E)=|E|^{*}.}$

Внешняя мера любого интервала совпадает с его длиной, что является следствием счетной аддитивности меры Лебега на полукольце интервалов, отрезков и полуинтервалов. Если точнее, то указанная счетная аддитивность дает ${\displaystyle m(a,b)\leq m^{*}(a,b)}$ , тогда как противоположное неравенство действительно очевидно и напрямую вытекает из определения внешней меры. Более того, можно привести такой пример меры на алгебре, что внешняя мера некоторого множества из этой алгебры строго меньше его исходной меры.

Свойства внешней меры

• (монотонность)${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}\Rightarrow m^{*}E_{1}\leqslant m^{*}E_{2}.}$
• (счётная полуаддитивность) ${\displaystyle E=\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\Rightarrow m^{*}E\leqslant \sum _{k=1}^{\infty }m^{*}E_{k}.}$
• ${\displaystyle \forall E,\;\varepsilon >0\;\exists G\supseteq E\colon m^{*}G\leqslant m^{*}E+\varepsilon }$ , где ${\displaystyle G}$  — открытое множество. Действительно, достаточно в качестве ${\displaystyle G}$ взять сумму интервалов, составляющих покрытие ${\displaystyle E}$ , такую что ${\displaystyle \sum _{i}\Delta _{i}\leqslant m^{*}E+\varepsilon }$ . Существование такого покрытия следует из определения точной нижней грани.

Внутренняя мера

Если множество ${\displaystyle E}$ ограничено, то внутренней мерой множества ${\displaystyle E}$ называется разность между длиной сегмента ${\displaystyle [a,\;b]}$ содержащего ${\displaystyle E}$ и внешней мерой дополнения ${\displaystyle E}$ в ${\displaystyle [a,\;b]}$ :

${\displaystyle m_{*}E=(b-a)-m^{*}([a,\;b]\setminus E).}$

Для неограниченных множеств, ${\displaystyle m_{*}E}$ определяется как точная верхняя грань ${\displaystyle (b-a)-m^{*}([a,\;b]\setminus E)}$ по всем отрезкам ${\displaystyle [a,\;b]}$ .

Пример неизмеримого множества

Пример неизмеримого по Лебегу множества построил Дж. Витали в 1905 году. Рассмотрим следующее отношение эквивалентности ${\displaystyle \sim }$ на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$ : ${\displaystyle x\sim y}$ если разность ${\displaystyle x-y}$ рациональна. Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по одному представителю — одной точке (здесь мы пользуемся аксиомой выбора). Тогда полученное множество ${\displaystyle E}$ представителей будет неизмеримым.

Действительно, если сдвинуть ${\displaystyle E}$ счётное число раз на все рациональные числа в интервале ${\displaystyle [-1,1]}$ , то объединение будет содержать весь отрезок ${\displaystyle [0,1]}$ , но при этом оно будет содержаться в отрезке ${\displaystyle [-1,2]}$ . При этом «сдвинутые копии» множества ${\displaystyle E}$ не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения ${\displaystyle \sim }$ и ${\displaystyle E}$ .

Следовательно, с учётом счётной аддитивности меры Лебега,

${\displaystyle 1=\mu ([0;1])\leq \mu {\Big (}\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}{\Big )}=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})\leq \mu ([-1;2])=3.}$

Однако, если построенное множество ${\displaystyle E}$ измеримо, это невозможно: все ${\displaystyle \mu (E_{n})=\mu (E)}$ в силу свойства инвариантности меры Лебега (мера множества не меняется при сдвиге), а значит, сумма ряда

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})}$

либо бесконечна (если ${\displaystyle \mu (E)>0}$ ), либо равна нулю (если ${\displaystyle \mu (E)=0}$ ); третьего не дано.

В обоих случаях получаем противоречие, и значит множество ${\displaystyle E}$ неизмеримо; то есть функция меры на ${\displaystyle E}$ не распространяется.

Заметим, что построение этого, как и любого другого примера неизмеримого множества на отрезке, было бы невозможно без принятия аксиомы выбора (нельзя было бы выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности).